y Mi) si x . . (b) Encontrar las dimensiones de la caja rectangular, abierta por arriba, con volumen máximo y área de la superficie dada A. Sean x , y, z las dimen­ siones de la caja con z como altura. 7.K. n*}, dem ostrar que l/( * ) —/« (* )|< 3 e para t o d a x e l . Stone, N. H „ “ The Generalized W eierstrass Approximation Theorem ” , Mathematic Magazine. (a) Demostrar que existe una celda cerrada Q =[a„ a 2] x [ b „ b2]n centro (a. h, tal que D 2F(x, y ) > 0 para toda (x, y ) e O ,y tal que F(x, b ,) < 0 y F(x, b2) > 0 para toda x e [ a „ a 2]. I7.E. Existe K e N tal que si n s K , entonces L - e s x. Et conjunto ( K) = K no tiene contenido cero. I7.E. 45.J. m Considere /(x ) = sen(1/x) p a r a x /O . El complemento F. de G .e s un conjunto cerrado que no contiene a ningún subconjunto abierto no vacío. (a) Punto silla en (0,0). 24. , n, y si í = [ a „ b ,]x - • -x[ap, bp], sea Pi la partición de [oí, b j que se obtiene al usar los puntos (o,,, b,i : / = 1 , . 4I.D. Inversamente, / ( x ) > M - e en algún intervalo de [a, 8], 30.H. Aplicar el ejercicio 20.3 y el teorema 20.6. Introducción al análisis matemático De donde /'* es una función. B — y-l =sj i ­ Parte I, Estadística deductiva e inductiva aplicada a la empresa, Estadística descriptiva aplicada a la empresa. c Si A c R p, un punto es un punto frontera de A si y sólo si es un punto fron­ tera del complemento WebFicha Bibliográfica. D pg t( c ) 51' Ejemplo de cómo se hace un texto argumentativo. / Por lo que ya sea A o f l ( o posiblemente ambos) debe poseer un número infinito de elementos en esta vecindad. Por lo tanto, del teorema 43.5 y el lema 43.8 se infiere que Por último, la relación (40.8) asegura que la aplicación D (g°f)(c) de (£, tj) en (p, a, t ) está dada por la matriz de 3 x 2 Rw(b)Wx(c) + Rr(b)Z,( c) R„(b) W,(c) + R z(b)Z,(c)~ S . 445 ( e - 1 ) 1. Ahora, como 0 < e < 1 , se puede ver que 1 - 2 pe < ( 1 - e)p y (1 + e)T < I + 2pe, y esta desigualdad se puede escribir en la forma (iv) 42.R. Dado que el área del disco circular {(x, y ) : x 2+ y 2 s 1} es igual a ir, en­ contrar las áreas de los discos elípticos dados por: (a) - 40.R. Q.E.D. Proyecto 45.a. i Introducir y consolidar, con ejemplos y ejercicios, las nociones de convergencia de sucesiones y series numéricas. En muchos de los ejercicios se piden demostraciones y no hay una forma única que sea correcta; aun cuando el lector haya dado un argum ento por completo distinto, éste puede ser absolutamente correcto. Esta segunda integral puede ser más sencilla si_/f«, vj es más sencilla (por ejemplo, si f(u, u) = g(u)h(t rel="nofollow">)], o si Wallis, J„ 268 Wallis, producto de, 268 Weierstrass, K., 92 Weierstrass, prueba-Af para integrales infi­ nitas, 297 Weierstrass, teorema de aproximación, 199, 212,373 D. Si e > 0 , entonces hay números racionales r,t rm en l tales que O< /(x) < t si x / rk. Introducción al análisis matemático Seguir el mismo argum ento que en 11.7. sólo que usando celdas abiertas en vez de bolas abiertas. . Seguir el mismo argum ento que en 11.7. sólo que usando celdas abiertas en vez de bolas abiertas. t> = Si p = 1, al contenido por lo general se le llama “longitud”; si p = 2, al contenido se le llama “área”: si p = 3, al contenido se le llama “volumen”. 42.T. L. (a) Sea r } y fijeL = Alternativamente, si e > 0 , existe m (e )ta ! Si x es un punto de acumulación de /I en R ' y N es una vecindad x, entonces N fl{ y e R p : ||y - x ||< 1} contiene a un punto a ,e A, a , ^ x . xy = l , £ M,Mje. L( f ) s L (p ) 20.E. Prcntice-Hall, Englewood Cliffs. x e A \ B. f tt> x , es uno-a uno y aplica A sobre A \{b,}. 40.P. ).S i a . Sea ahora (/g')(x) = /(x)g! A. F'(t) = 2(3t +1)3 + 2(2* - 3)2 = 26t - 6. (el Si x + A = { x + a : a e A}, entonces x + A pertenece a 3>(Rr) y c(x + A) = e(A ). 44.D. 20.E. 20.B. y establezca (c) De modo que el signo de Q es el mismo que el de /I (o C). {(x, y):y = ±x}. H. Aplicar el ejercicio 2.G dos veces. i scn-irx . DEMOSTRACION. 43.H. Si L es singular (es decir, si det L = UJ, entonces l. aplica a R pen un subespacio lineal propio de R p. Dado que este subcspacio también se puede obtener como la imagen de algunaL': R' —* R pcon r < p,del corolario 45.3 se infiere c(L(A )) = 0 para todo A e 2 ) (k p). Sea B : R P—* R" la función lineal que transforma a los ele­ mentos de la base usual e¡,. Introducción al análisis matemático , L,con una de las tres formas que se dieron antes. 507 Si dem ostrar que g »f perlenec a la clase C ‘(íl). Aquí D/(0) = 0. G. Ib) si e > 0 ,e x is te 8 ( e ) > 0 t a l que si c < x < c + 6 (ej, x e D (/),e n to n c e s |/ ( x ) - b | < e . Si Li es la restricción de L a Xi, entonces L¡ es una biyección deXiSobre Vi; sea A : Yi —* X id inverso de Li.se puede ver que. Sugerencias para ejercicios seleccionados Malh. Suponga que F : R 3-* R, como se da en seguida, representa una superficie Sf en R 1 ¡mplícitamnte como la superficie de nivel SF = {(x, y, z ) e R 3:F (x, y, z) = 0}. Documentos (10)Mensajes; Estudiantes . . Sea x e A y defínase (a) es convergente para p, q > —1. Si /(c )> 0, hay una vecindad de c en la que / es positiva por lo que c^supN . , m. Por lo tanto, se tiene . Report DMCA DOWNLOAD PDF C S ix e G .s e a r = inf{x, 1 —x}. 24. Proyecto 45.a. Se podrá ver que se dan más detalles para los primeros temas. Complemento de un conjunto, 23 Componentes de un vector, 78 Condición lateral, 43S Conexidad, conservación de, 178 Conjugado, de un número complejo, 110 Conjunto abierto, 83 Conjunto acotado, 91 Conjunto cerrado, 86 Conjunto compacto, 95 Conjunto conexo, 103 Conjunto contable, 40 Conjunto convexo, 80 Conjunto finito, 40 Conjunto inconexo, 103 Conjunto infinito, 39 Conjunto ordenado, 469 Conjunto ortonormal de funciones, 377 Conjuntos ajenos, 21 Conjunto(s), punto de acumulación de, 92 abierto, 85 acotado, 91 ajeno, 21 Cantor, 67 cerrado, 86 cerradura de, 90,458 compacto, 95 complemento de, 23 complemento relativo de, 23 conexo, 103 contenido de, 459 - .. convexo, 80 diferencia simétrica de, 26 enumerable, 40 finito, 39 igualdad de, 18 inconexo, 103 >' infinito, 39 interior de, 90, 458 intersección de, 20 no intersecable, 21 ’ numerable, 40 ordinado, 469 producto cartesiano de, 25 punto frontera de, 87.458 punto exterior de, 87 punto interior de, 87 punto límite de, 92 unión de, 20 . Introduccion al analisis vectorial el análisis vectorial es un lenguaje matemático muy preciso que nos facilita el análisis de campos magnéticos y eléctricos. Sección 36 36.A. entonces al menos una de las dos DptlF(a, b) y D,*2F (a , b) es distinta de cero. —tlv|| s i ||.v|| + (l - ti |lyHs t + (l - í ) = 1 de modo que tx +(1 —t)y e K, para Indice De donde, el conjunto de irracionales es la unión de una familia contable de conjuntos cerrados ninguno de los cuales contiene a un conjunto abierto no vacio, pero esto contradice al ejercicio ll.P . Sección 5 5.A. y consta de dos partes : 1. en donde CR ={(x, y ) :0 £ x, 0 < y, x J + y 1 s R 2}(b I Si B l = {(x, y ) : 0 £ X £ L , 0 £ y £ L } , dem ostrar que J J e - ^ d í x , y) = ( j V * ‘ d x ) . De donde, el conjunto de irracionales es la unión de una familia contable de conjuntos cerrados ninguno de los cuales contiene a un conjunto abierto no vacio, pero esto contradice al ejercicio ll.P . En el ejemplo 43.2(g), se tiene S~;= b (S ) = | x f . y sea G = U»*n /». I9.L. D p„ F ( a , b ) 1 /O , Dp, 2G (a , »• es una sucesión en (0,1) con x» —►0, entonces (/(x«) es una sucesión de Cauchy y por lo tanto es convergente en R. 23. que Sugerencias para ejercicios seleccionados entonces F(x + 2ir)= j ” ' f ( t ) d t = £ f ( t ) d t +£ y Mi) si x . Se recomienda al lector que no vea estas sugerencias a menos que encuentre difi­ cultades. . (al U sar la aplicación coordenada esférica para probar que c(A ) = S-na'l'S. Sección 40 40. , n. Un número real L se define como la integral de Riemann de/sobre / si para todae > 0 hay una partición P. de / tal que si P es cualquier refinamiento de P. y SIP;f) es cualquier suma de Riemann correspondiente a P, entonces |S(P; f) - L\ < e. En caso de que esta integral exista se dice que / es integrable sobre I. Es fácil demostrar que el valor L de la integral está determinado de ma­ nera única cuando existe; por lo general se escribirá -1 y a 0. f Por lo tanto, (x + y)* = inf {u„(X + Y ) : m 6 N ) s tv(X ) + y *. Determinar la imagen de la frontera deB = [-j-n-, lir] x [ - jtt, ¿itJ bajo i/», y la frontera de iKB). .. (0 ) ^ 0 p a ra 0 e (O , ir)'. *, Sección 9 9.A. Sí. A será un subconjunto acotado de R p. 43.4 TEOREMA. El teorema jacobiano implica que si K es un cubo suficientemente pequeño con centro* entonces c( Si e > O, entonces |a»| £ ep„ para n>N. (c) Si / : D -* R es continua, dem ostrar que / es integrable en D y que = Todos. Newton, método de, 228-229,408,430 Norma, 75 de una función, 142, 282,283 de una matriz, 175 de una partición, 251 de un vector, 75 Norma de convergencia de series de Fourier 369 Norma suprema, 143 Norma uniforme, 142 ss Nulidad, 421 Número racional, 49 Números complejos, 2 0.109 ss naturales, 19 racionales, 2 0 ,4 9 reales, 45 ss 44.1 DEFINICION. 64,172, 237, 267 Los nuevos paradigmas de la didáctica de las ciencias sociales apuestan, por un lado, por la introducción de metodologías basadas en el juego ya desde edades muy tempranas como la educación infantil, y, por otro lado, por realizar un cambio de mirada hacia el desarrollo de habilidades relacionadas con las ciencias sociales en relación con los contenidos. . Introducción al análisis matemático . - >26.H . Defina H : R - + R como h (x) = x + 2 x 2s e n ^ =0 42. Este libro está dirigido a los alumnos del primer ciclo de las carreras de Ingeniería. • i, = mi, mi., • • • mi, = jdet Li| jdet L2| • • • |det L,| = |(det Li)(det L,) • • • (det L,)| = |det ( L, ° L2°- ■-°L,)| = |det L|, el teorema está demostrado 37.A. El conjunto S, es el interior del cuadrado con vértices (0, Ü ), (±1,0) y es el interior del cuadrado con vértices (1, ±1), (-1, ±1). (a ) U s a r la a p lic a c ió n c o o r d e n a d a e s f é r ic a p a r a p r o b a r q u e c(B ) = ir ( 4 V 2 - 3 ) /3 .R p. (bl U sar la aplicación coordenada cilindrica para calcular c(B). (b) converge para x^O y uniformemente paraje en el complemento de cualquier vecindad dex = 0. p a ra x ^ O , para x = 0. Supóngase que A.B perienecen a © (R p) y sea A £ B. Entonces se puede escribir B = A U (B \ A) ya que A f l(B \ A) = 0, de (i) y (ii) se infiere que ■y(B) = y(A ) + y(B \ A) > F. sfa. G Gamma, función, 293, 312 Gauss, C. F., 111 Gradiente, 390 Graves, L.M., 411 Grid,433 43.R. series de coseno, 375 series de seno, 376 Fourier, J. D em ostrar que la función producto fg es integrable en /. Con facilidad se puede ver que, YM,e. . S i A s í i es un conjunto acotado con A ~ s f t, entonces. Un cálculo directo da , xp) = (ctXi, x2, . (c) 4/Vó. 4 1 .0 . If) Mínimo re­ lativo estricto en (0 ,0). 7.K. Por lo tanto, sup{/(x) + g(x):xeX} es menor o igual al lado derecho. Sea p. : 2d(Rp) R una función que satisface las propiedades li), l¡¡) y (¡ii). (d) D,F(x, y) = /'(x2- y 2)(2x), D2F(x, y) = /'(x2- y 2)(-2y). Sí se puede probar que tiene esta propiedad. . Introducción Al Cálculo Y Al Análisis Matemático Volumen 2 Richard Courant & Fritz John Skip to main content Due to a planned power outage on Friday, 1/14, … Sea í l s R ! 43.9 TEOREMA DF. continua por partes, 362 convexa, 239 creciente, 171 decreciente, 171 derivada de, 222, 382 diferenciable, 382 dominio de, 28 entero mayor, 170, 249 escalón, 194 exponencial, 64, 171, 236, 361 gamma, 294, 312 hiperbólica, 239 homogénea positiva, 406 homogénea, 406 imagen directa de, 36 imagen inversa de, 37 impar, 228, 364 inversa, 33 inyectiva, 33 lineal, 172 lineal por partes, 194 logaritmo, 6 4 ,1 7 2 , 237, 267 monótona, 170 no diferenciable, 223 par, 228, 364 periódica, 190, 362 polinomial, 169 raíz cuadrada, 34,183 rango de, 28 semicontinua, 206 seno inverso, 35 suprayectiva, 35 transformada de Laplace de, 313 trigonométrica, 237 267,361 valor absoluto de, 168 variación acotada, 253 Función acotada, 142 Función aditiva, 170,473 Función afin, 383 Función armónica, 444 Funcional lineal, 276 Función beta, 312 Función bilineal, 406 Función continua por partes, 362 Función convexa, 239 Función creciente, 171 Función diferenciable, 382 Función entero mayor, 170, 249 cota inferior ( = íntimo), 57 Función exponencial, 6 4 ,1 7 1 , 236, 361 Función homogénea, 406 Función implícita, teorema, 4 1 7 ,4 2 8 ,4 2 9 Función inversa, 33 continuidad de, 181 Función inversa seno, 35 Función inyectiva, 33 Función lineal, 172 Función periódica, 191, 363 Función suprayectiva, 35 f +^ Tome a = 1/p, b = 1. No. Sea A. para m a n »• dado que F . S(, K(e), entonces, del ejercicio 30.N se sigue que existe un número £; en [c, Z>] tal que Más aún, para al­ guna M ,> 0 , se tiene (A) s M ,c(A ) para toda A e2 > (ft). 516 Ja Existe K e N tal que si n s K , entonces L - e s x. Observe que cz = (x eos 6 —y sen 6, x sen 0 + y eos 9), esto corresponde a una rotación en el sentido opuesto al de las manecillas del reloj de 6 radianes en tornó al origen. 45.H. U sar ahora el criterio de Cauchy. La sucesión es creciente y x , s n/(n + 1 ) < 1. , N y una suma sobre n > N. Si hay una infinidad de puntos en el conjunto acotado {x. Sección 4 4.G. I I .K. Por lo ,tanto J . 19.K. 30.P. Dado que el intervalo ( - 1 , rj es una vecindad de este límite, existe K e N tal q u e O < x .„ ,/x » < r para toda n z K. De­ m ostrar ahora que 0 < x, < Cr" para alguna C y n a K. 14.K. 516 í j /< , »> e R ' abiertos y suponga que / : í l - » R ’ pertenece a la clase C'(íl) y g :íl . DEMOSTRACION. A üB 40.D. Por el teorema 12.7 cualesquiera dos puntos en í! está contenida en b (A )U b (B ). y Sí. Sea f(x ) = —1 para x € [ - 1 , 0 ) y f(x) = 1 para x e [0 ,1 ]. . Por lo tanto, g es uniformemente continua en lodo A e S ( í l ) . 80, 922-925 (1973). Sección 23 23. (a) - De hecho, sup A U B = sup {sup A, sup B}. =0 I g l El conjunto S c g J que consta de todos los puntos(x, y)en dondex y y pertencen a I D Q es un conjunto contable pero no tiene contenido cero. 21.1. Math. . Vol. C(H,) = ±J\/(0))Jde. . (H . , m. Por lo tanto, se tiene , xp) = ( xi + x 2, x 2, . De modo que la función d> da una aplicación inyectiva de (0, +°o)x[0 ,2 i r ) x (0, ir) sobre J l3\{ (0 ,0, z ) :z e R } . 1961. Holden-Day, San Francisco, 1964. D ado x , .i - x ,« ( x ,- x .- ,) / ( x ¿ c .- ,) , la sucesión es monótona. S e a G .= { ( í, y ) : i ' + y ! entonces es aditiva en 2>(ft) y tiene densidad fuerte igual a |J.|. Ja y los cubos completamente conte­ nidos en el complemento de A se enumeran Kn+ ,,. Entonces, / está contenida en la unión de n ([a 2/c ] + l) • • • ( [ a ^ c ] + l ) cubos con longitud lateral c que tienen contenido total menor a 2(a, ■• • a ,) = 2 c(/). Indice , cm)y e >0, sea P una partición tal que cada uno de los subintervaios que contiene alguna de las c„ . (0 ) ^ 0 p a ra 0 e (O , ir)'. 42.G. Sea a < b y supóngase que f : [ a ,b ] - * R es continua y tal q u e /( x ) & 0 para toda x e [ a ,b ] , Igual que en el ejercicio 4 4 .0 , sea S, = {(x, y ) :a £ x £ b, 0 £ y £ f'(x)} el conjunto ordenado de / Defínase p . Malh. ( e - 1 ) 1. 45.D. + 2(x • y) + ||y||:. Sea / c R ' una celda cerrada y sean P = { ¡ ........,1.} ]A + ]B + ÍC = J x7(x)dx, jA (b) diverge si i s 0 y es uniform emente convergente si t s c > 0 . Si la cerradura de J, es [a,t, b(1] x • • -x fa ,,, b * ] , para j = 1 , . Considere el ejemplo 20.5 (h) 25. Los círculos que pasan por el origen se mandan en rectas por h. Todas las rectas que no pasan por el origen se mandan en círculos que pasan por el origen, todas las rectas que pasan por el origen se mandan en rectas que pasan por el origen. A. áea f(n ) = n/2, n e E. 3 . (ai Para cada x e I, defínase g , : J —» R como p (x ) = U( g,) para y e J. Definase A : I —» R como la integral inferior g ,(y )=f(x, y)de g,,y d e fín a se p : f-> R co m o la inte­ gral superior A (x)= L (g,)de g,. Transformaciones por aplicaciones lineales En seguida se verá que los conjuntos con contenido son aplicados por una aplicación lineal, en R p hacia conjuntos cuyo contenido es un múltiplo fijo del contenido original. Sea B = { ( u , i ) ) : 0 < u + t i < 2 , 0 £ » - t t s 2 } . Demostrar que D tiene medida cero (en el sentido del ejercicio 43.V) si y sólo si cada conjunto D w tiene contenido cero. Ahora, si P es un refinamiento de P„ entonces aquellas celdas en P que contienen puntos de A también tendrán contenido total menor que e. Por lo que, si |f (x ) |< M para x e A , se tiene |S (P ;/)| < Me para cualquier suma de Riemann correspondiente a P. Dado que e > 0 es arbitraria, esto implicá que fAf = 0 . Aplicar el teorema de unicidad 37.17. 9.N. 517, R ppertenece a la clase C ‘(íi). tal Si S( P; f ) es cualquier suma de Riemann correspondiente a P. entonces L (P ; f) £ S (P ; / ) < U (P ; /) . Formes Differentielles. para toda n, se tiene una contradicción al corolario 6.7(¿>). C Sea e = 1 y tome S = 8(1) tal que x —c DF(x, y)(u, v) = D«„F(x, y)(u) + DmF(x, y)(v). ¡Descarga INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO I y más Apuntes en PDF de Análisis Matemático solo en Docsity! 495 U sar el teorema de Lagrange para probar que los puntos (x0, yo) en donde estos extremos relativos se toman deben satisfacer el sistema (a -A )x o + b y o = 0, b x „ + (c -A )y o = 0, en donde el multiplicador de Lagrange A es una raíz de la ecuación A2- ( a + c ) A + ( a c - b 2) = 0. N. Suponga quec 6 (a, b); entonces/ es g-integrable sobre [o, c] y [c, b]. 6.E. Sección 43 18.E. en donde a r (3 son funciones continuas en [c, d]con valores en [a, b]. se pueden unir por una curva poligonal que esté dentro de íl. SeanA = {x:x l}. Obtener este conjunto como la imagen bajo la aplicación coordenada esférica 4> de la celda [O, l ] x [ 0 , 2 i r ] x [ 0, jir]. Demostrar que el volumen de la caja más grande que se puede inscribir en la región elipsoidal Introducción al análisis matemático 37.U. Sea . (b) /(x, y) = x 2+ 2x + y2, 29.P. A A» 45.K. x e A \ B. f tt> x , es uno-a uno y aplica A sobre A \{b,}. D D’Alembert, J., 327 Darboux, G., 225 Darboux, teorema de, 227 Decreciente, función, 171 sucesión, 128 Dedekind, R„ 64 De Moivre, A., 268 De Morgan, A., 24 De Morgan, íeyes de, 24 Densidad de una función conjunto, 473 de los números racionales, 60 Derivada, 221 ss., 382 ss direccional, 382 parcial, 381 parcial de bloque, 393,419 unilateral, 228, 368 Derivada direccional, 382 Derivadas parciales de bloque, 393,418-419 Descartes, R., 25 Desigualdad, aritmética-geométrica, 82,445 Bemoulli, 55 Bessel, 366 Cauchy,82 Chebyshev, 83 del triángulo, 54, 77 Hólder, 83, 230,445,471 Minkowski, 83,445 Schwarz, 77 Desigualdad del triángulo, 54, 77 Desigualdades, propiedades básicas de, 50 ss Diferencia, de dos funciones, 167 de dos sucesiones, 114 simétrica, 26 Diferencia simétrica, 26 Diferenciación, teorema de, para integrales, 259 para series de potencia, 354 Dini, U., 200 Dirichlet, función discontinua de, 165 prueba para convergencia, 292, 338 N. Un cuadrado con vértices(±1,0), (0 ±1) Dado q u e / e s inyectiva. K Kronecker, L., 69 g(x) ) es una función lineal de R q en R r. La composición LgOjL* es una función lineal de R p a R r, como se pide, ya que h —g ° f es una función definida en una parte de R 1’ con valores en R r. Se verán ahora algunos ejemplos de este resultado. I números complejos, 109 ss /evolución, 490 f. J., 240 |rmula de, 268-269 ,268 IH., 210 prema de aproximación de, 210 perstVass, teorema de, 211 nto, 18 lón, 121 /acotada, 116 rdoble, 153 ss *> creciente, 127 ir. Sección 17 17.A. Diferenciación en R' *" ' 20.F. Ahora, si P : R p x R q -* R q está definida comoPfx, z) = z,entonces P es li­ neal y continua y ; por lo tanto, 2(x, z)) Si e > 0 está dada sea P. como en la demostración de 30.2. 44.M. :ílo~* R p como (A0) tiene contenido cero en Jtp. entonces para Bibliografía 20.L. y aplicar el ejemplo 1 5 .5 < c jy e l teorema 15.6 (a). _ j 32.F. Indice Cuadrados mínimos, 443 cota superior f = supremo), 57 Cubierta, 95 Cubo, 448 Curva polar, 490 Curva, poligonal, 106 espacio-cubriente, 450 -sen 44.G. Por lo tanto, a 6 A' y dado q u eaeA es arbitraria se tiene A S A '. (a) =o, (c) 1/e, (O 1. U sar ahora el teorema de Bolzano 22.4. Más aún, si Dg(c) 5*0, se puede tomar p, = 1. s « / 2 H/lli. 'r d r j d e 494 Se dice que un conjunto 9 en Q ,(K ) es acotado (o uniformemente acotado) en K si existe una constante M tal que ||/||K < M, para toda / e n 9 . (r, 0, 4>) = (r eos 0 sen , r sen 0 sen , r eos ). Más aún, para alguna M 2> 0, se tiene ^ ( A ) ! 22.M. De hecho, sup A U B = sup {sup A, sup B}. I números complejos, 109 ss /evolución, 490 f. J., 240 |rmula de, 268-269 ,268 IH., 210 prema de aproximación de, 210 perstVass, teorema de, 211 nto, 18 lón, 121 /acotada, 116 rdoble, 153 ss *> creciente, 127 ir. ’ Todo elemento enF, tiene una expansión ternaria cuyo primer dígito es 0 ó 2. DF(x, y)(u, v) = D«„F(x, y)(u) + DmF(x, y)(v). para toda a ; de donde se deduce f)K « es convexo. L. (a) V ^ ,/. Ih) Si 1 6 I, defínanse flt) y gil) como 45.F. sup{|/(x)-g(x)|:x€n} =, sup{| 0022, [Sugerencia: considere la composición 4>°f, en donde (x)= A re tan x 0 , hay una 8 ( c , e ) > 0 tal que si x e D y Hx—c |< 8 ( c , e ) entonces H / ( * ) - /( c ) |< e para toda / e ? Si (x, y ) (0,0), entonces el par único (r, 0) con r > 0 , O ^ 0 < 2 tt, se llama el conjunto principal de coordenadas polares del punto (x. y). * 41.D. Sea M e i? (bj S i /'(c ) < 0, existe un número 8 > 0 tal que x je D y c - 8 < x < c , e n ­ tonces /(c) < /(x ). (b) converge para x^O y uniformemente paraje en el complemento de cualquier vecindad dex = 0. La inclusión opuesta se prueba invirtiendo estos pasos. Bolzano-Weierstrass, teorema, para conjun­ tos infinitos, 92 para sucesiones, 131 Bonnet, O., 262 Borel, E., 97 Brouwer, L. E. J., 189 Bunyakovslcii, V., 77 Toda vecindad d e x contiene una infinidad de puntos de A U B . O.E.D. = 0 ; si m < n,entonces Ahora, sea la aplicación lineal no singular L la composición de aplica­ ciones lineales Li, L2, . segunda edición, Macmillan, Nueva York, 1968. Aplicar el teorema del valor medio 27.6 para obtener F(b)-F(a) como una suma de Riemann para la integral d e / 30. (¿por qué'?) Nuestro objetivo con este libro de texto es proporcionar a los estudiantes una base sólida en el análisis matemático. , / } es una partición de /. Monthly. El círculo | z - c | = r se aplica en el círculo |w - ( a c + f>)| = |a | r. Se puede e s c rib ir z = a ~ 'w -a ~ 'b y c a lc u la r x = R e z , y = Im z en té rm in o s de u = R e w, o = Im w. Haciendo esto, con facilidad se puede ver que la ecuación ax + by = c se transform a en una ecuación de la forma A u + Bu = C. 13.D. Usar el teorema de Heine-Borel o el teorem a de cobertura de Lebesgue como en la demostración del teorem a de continuidad uniforme. Sea m = ¡n f{ /(x ):x e A}, . 491 (a) Valor máximo = 1 ,alcanzado en (± 1 ,0 ); valor mínim o= —1, alcan­ zado en (0, ±1). . métodos y técnicas de resolución … Se estudiará ahora otro teorema que ofrece condiciones bajo las cuales la imagen de una función que transforma un subconjunto abierto de R ' hacia R q se puede parametrizar por medio de una función q>definida en un conjunto abierto en un espacio de menor dimensión. (a) y le) son absolutam ente convergentes. Sección 23 23. y c = lim (x. • (el S i / e s una función acotada y continua en Sugerencias para ejercicios seleccionados Sea {(x., y . o Teorema del valor intermedio y teorema de los valores extremos. 40.P. Introducción al análisis matemático La hipótesis descarta la posibilidad de que 43.T. Dado que f „ ( x ) - / ( c ) = ¡lf'„ se puede aplicar el teorema 31.2 para obtener / ( x ) - / ( c ) = f d) Mínimo relativo en (0,0). l2 +— , n y defínanse las sumas inferior y superior d e / para P como L (P ; / ) = t >«,£(/), í L. Si x e ^ r H A ^ / e J } ) , entonces x é f j { A ; / € fl- Esto implica que existe k e J tal que x é A*. Indice Sección 4 4.G. 8.K. Demostrar que g(c) = M, mientras que g ( x ) < M para ¡|x||= r. Por lo tanto, g alcanza un máximo relativo en algún punto c, con ||c,||< r,-en donde se tiene Sugerencias para ejercicios seleccionados 45.1. f 7.E. 23.1. d(x, (x) p a r a a s x s c y (/gO(x) = /(x)gí(x) parac. B. Si p e IV está dada sea n > ( 2 '" - 1)~‘. +^ C Estos resultados se usarán para probar un teorema concerniente al “ cambio de variable” de una integral sobre un conjunto en R p. Los casos es­ peciales de coordenadas polares y esféricas se examinan brevemente y se da un teorema más fuerte aplicable a muchas transformaciones de singularidad moderada. H„ 289 Heine, E., 97 Eine-Borel, teorema, 97 Helly, teorema de selección, 256 Hólder, desigualdad de, 8 3 ,2 3 0 ,4 4 5 ,4 7 1 Hólder, O., 83 = 0 if m > 1. )"M para x e D . [ : |] . I7.Q. 40.G. Por lo que se define 0} a O <= R 2 como el in­ verso de 4». En este ca^o el espa­ cio tangente a Sf se llama el plano tangente SF en (Xo, y0, z0). Si DJ¡a) no es inverlible, dem ostrar que Dg(b) no es invertible. Uno de estos conjuntos debe contener a.r. Ja La propiedad 8.3(¡i) no se cumple. Por lo que se va a suponer q u e /n o es constante; substituyendo / por - / , si es que es necesario, se puede suponer que/ toma algunos valores positivos. H arcourt, Brace and World, Nueva York, 1966. 22.M. . . r s e n í J g l l ’ i a s e s f t O s r s h(0)}. 45.1. Si la cerradura de J, es [a,t, b(1] x • • -x fa ,,, b * ] , para j = 1 , . S [Mj2P1 ?,(/o‘p)(y‘)c(K,)]e Semana 3 Ejercicios … 45.D. Aplicar el lema 25.12 25.N. U(J), Cualquier terna de números (r,0,)eR3 tales que (x, y, z) = 4>(r, O, )es un conjunto de coorde­ nadas esféricas para toda 0 e R , e R; si (x. y. z) i* (0,0,0) y (r, 0, ) es un conjunto de coordenadas polares para (x. y. z). ht(x) 2: 0 , , h*(x) S: 0. |x - a | p.D/(c)(«) = ADg(c)(u) para toda v e H p, v e R 1’. 6. Dado que el intervalo ( - 1 , rj es una vecindad de este límite, existe K e N tal q u e O < x .„ ,/x » < r para toda n z K. De­ m ostrar ahora que 0 < x, < Cr" para alguna C y n a K. 14.K. G. (a) ± Supóngase q u e / : K - * R e s acotada. 22.N. Un conjunto K es convexo si y sólo si contiene al segmento de línea que une a c u a le s q u ie ra dos p u n to s en K. Si x. y e K,, e n to n c e s ||»x + (! ra ■ . (al 6 ir. Foundations o f Modern Analysis, Academic Press, Nueva York, 1960. Sección 13 La unión de un número finito de conjuntos con contenido cero tiene contenido cero. EBOOK. Diferenciación en R' November 2019. Primero tratar el caso / = g; después considerar ( f + g ) J. Si/ es una aplicación uno a uno de A sobre B y g es una aplicación uno a uno de B sobre C. entonces g °/ es una aplicación uno a uno de A sobre C. 5.M. Nuevamente, la sucesión (/i,2(x3) : n e N) es acotada en R \ por lo que alguna subsucesión ( f i \ x }), f 2\ x , ) , . Análogamente, si /(e)<0. Introducción al análisis matemático J r íB ) /i < S(P, ; / ) + e. I Imagen, 2 8 ,3 5 ,3 7 Imagen directa, 35 Imagen inversa, 37 Inconexión, 103 Infimo, 57 propiedad del, 58 Integrabilidad, teoremas, 244,256-257,453, 4 5 5 ,4 7 2 Integración por partes, 247,261 Intcgrador, 243 Integral, 240 ss., 450 ss impropia, 286 sx inferior, 253,457 infinita, 288 ss. Si (x. y, z) es tal que (x, y) * (0,0), entonces la terna única (r, 0, ) con r > 0 , 0 s í < 2 ir, 0 < < tt, se llama conjunto principal de coordenadas esfé­ ricas de (x. y. z). Si A / 0, entonces la única solución de ax + by = 0, Sea u = xy, u = y /x \ El área es igual a (log 2 ) /3 . Para n 6 N se divide lu en una red G „ „ de longitud 2 " formada por la colección de todos los cubos en ZM con longitud lateral 2'" y puntos extremos racionales bivalentes (es de­ cir, puntos extremos de la forma k/2“ en donde k e Z ) . M. Sea r e R tal que lim ( x j'" ) < r < 1 . es (x, y) = (0,0). 40.K. ), se llega a xy + 2xz = xy + 2yz = 2xz + 2yz. El límite e s ( 1 + ( 1 + 4 a ) 1,J)/2. (h) Valor máximo = 3 , alcanzado en (1,0); valor mínimo = —1 , alcan­ zado en ( - 1 , Q). 5.D. Con frecuencia hay más de una restricción; en este caso, el siguiente re­ sultado es útil. I3.B. Por lo tanto, g es uniformemente continua en lodo A e S ( í l ) . r s e n í J g l l ’ i a s e s f t O s r s h(0)}. 0 ) - g-(x)ll s ||g„(x)- g.(y,)IM|g»(y¡) - gm(y¡)|| + l|g"(yi)-g-. 0220, f N. Suponga quec 6 (a, b); entonces/ es g-integrable sobre [o, c] y [c, b]. , G„}. N. Un cuadrado con vértices(±1,0), (0 ±1) Intersección de conjuntos, 20 Intervalo, de convergencia, 3S2 Intervalo en R, 66 Intervalo unitario, 66 Inyección, 33 Participantes. DpK(c) (a) Si A > 0 r .w D n /(c )> 0 , entonces/ tiene un mínimo relativo estricto en c. (b ) S i A > 0 r si D i if(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo estricto en c. (c) Si A < 0, entonces tiene un punto silla en c. En los ejercicios se dará cierta información concerniente al caso en que A= 0 .> 9.L. I B. (Por ejemplo, si J = [a, b] x [c, d],) entonces b(J) es la unión de las cuatro cel­ das [a ,b ] x [ c ,c ] , (el Concluir que si p = 2k es par, entonces Por lo t ant o, fí. Demostrar que b, + b2+- • • + !>.& a ,( l + }+ - • •+ 1/n). Una modificación mínima de la demostración dada para el teorema an­ terior da origen a la siguiente aseveración un poco más fuerte. J. Por el teorema del valor máximo 22.7, la función/adquiere el valor sup {/(x): x e J} en algún punto c de J. Dado que f(a) = f(b) = 0, el punto c satisface a < c < b . B. Demostrar que el conjunto s í de polinomios'en co sx satisface las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass. ít. Boas, R.F., Jr., A primer o f Real Functions, Carus Monograph Number 13, Math. Introducción al análisis matemático Todo elemento enF, tiene una expansión ternaria cuyo primer dígito es 0 ó 2. |g (X k )-g (x * -,)| . A rgum entar como en 9.J, o bien tom ar complementos y usar 9.J. Demostrar que f(a + h)-f(a ) = f( h ) - f( 0). Descomponer la suma £ (o«x")en una suma sobre i t = l , . o Aplicación a la solución de ecuaciones diferenciales. Si J.v f = im'(A). Si A / 0, entonces la única solución de ax + by = 0, Knopp, K.. D D’Alembert, J., 327 Darboux, G., 225 Darboux, teorema de, 227 Decreciente, función, 171 sucesión, 128 Dedekind, R„ 64 De Moivre, A., 268 De Morgan, A., 24 De Morgan, íeyes de, 24 Densidad de una función conjunto, 473 de los números racionales, 60 Derivada, 221 ss., 382 ss direccional, 382 parcial, 381 parcial de bloque, 393,419 unilateral, 228, 368 Derivada direccional, 382 Derivadas parciales de bloque, 393,418-419 Descartes, R., 25 Desigualdad, aritmética-geométrica, 82,445 Bemoulli, 55 Bessel, 366 Cauchy,82 Chebyshev, 83 del triángulo, 54, 77 Hólder, 83, 230,445,471 Minkowski, 83,445 Schwarz, 77 Desigualdad del triángulo, 54, 77 Desigualdades, propiedades básicas de, 50 ss Diferencia, de dos funciones, 167 de dos sucesiones, 114 simétrica, 26 Diferencia simétrica, 26 Diferenciación, teorema de, para integrales, 259 para series de potencia, 354 Dini, U., 200 Dirichlet, función discontinua de, 165 prueba para convergencia, 292, 338 Es un libro secuencial, es decir que conviene no avanzar excesivamente si no se tienen bien cimentados los conocimientos anteriores. scn-irx . Últimamente trabajó en el diseño de la estructura del primer nanosatélite español que fue lanzado en diciembre de 2006. ( Y ) < i) ,( X ) + m . g )| * Diferenciación en R ' Si z = ( 1 , 0 ), entonces para cualquier r > 0 , hay un punto y enn B ° = (A flB )°. Si n es suficientemente grande, 1/3" < b - a . Usar ahora la continuidad de / 20.N. (b ) es convergente si q > q absolutam ente convergente si q > 1 . Sugerencias para ejercicios seleccionados Dieudonne, J. S i x > 0 , entonces e ~ * < l. I7.J N o necesariamente. u = sup {x„___ x,}, demostrar que sup {u, x..,} es el supremo de A. L. (a) Sea r } y fijeL = Alternativamente, si e > 0 , existe m (e )ta ! Sección 36 36.A. de (/. . )< e . entonces una suma de Riemann StP;f ) correspondiente a P es una suma P A R A J E SAN J U A N , I Z T A P A L A P A ME XICO, D. F. Alternativamente, se puede pensar en las coordenadas polares como una aplicación de (r, 0 ) e R 2 en (x, y ) e R 2dada por (45.7) Si Q = (y0, y „ . n r f(x, y) dx j dy. Por lo que existe un número real r i > 0 tal que, por lo que se deduce que &. . . ( - 1 )* Se loma B = K t U • • • U K„ de tal manera que B e B) = c ( A ) - c ( B ) < se tiene e. (¡O N l = { i 6 R ' : L ( x ) = 0}. Proyecto 45.a. Integración en R ’ Como ya se ha dicho antes, la hipótesis del teorema de la función implícita requiere que la matriz ft*+t II .G. Bl (el A partir del hecho de que C , c B , s G . Si Q = (y0, y „ . , p, existe y que si u = (ut, . P, inducen una partición de /. 26.1. Se podrá ver que en el teorema no se requiere que 18. Por otro lado, ft tiene extremos relativos estrictos en los puntos ±1. Sea T = D /(x 0)"'. Sección 37 . La demostración de que se puede tomar M- —1 en (42.10) es análoga a la del corolario 42.10. P, inducen una partición de /. Si gí es la restricción dega [a, c],de 27.N se infiere que g, es continua en [a, c]; análoga­ mente para la restricción g2 de g a Le, b]-Del teorema 29.8 se infiere que /g¡ es inte­ grable sobre [a, c] y que /gí es integrable sobre [c, b] y que l ‘f d g =(‘/gí, Newton, método de, 228-229,408,430 Norma, 75 de una función, 142, 282,283 de una matriz, 175 de una partición, 251 de un vector, 75 Norma de convergencia de series de Fourier 369 Norma suprema, 143 Norma uniforme, 142 ss Nulidad, 421 Número racional, 49 Números complejos, 2 0.109 ss naturales, 19 racionales, 2 0 ,4 9 reales, 45 ss Usar el teorema de Fejer 38.12 y el teorema 19.3. Vol. Este proyecto está basado en el proyecto 4 4 .7 y proporciona un acceso al­ ternativo al teorema de cambio de variables 45.9. Aplicar el lema 25.12 25.N. Si A s B , entonces A O B 2 A de tal manera que A f l B = A . 44. J. la) ^ iM > 0 , existe m > 0 tal que s i i s m y i E D(/), entonces /(x) a M. (b) Si M < 0, existe 8 > 0 tal que si 0 < |x - c |< 8 , entonces f(x) < M. 25. Sea p e N y supóngase que cr : R ' —* R r está definida com o cr(0) = o - ( 0 „ .. Por ejemplo, si (x, y) = (0, 0 ),(0 ,0 )e s urt conjunto de coordenadas polares de (0.0) para toda 0 e R; si (x, y) (0, 0) y (r, 0) es un conjunto de coordenadas polares para (.v.rJ, entonces para cada n e Z el par (r, 0 + n 2ir) también es un conjunto de coordenadas polares para (.x.y) S = {(x, y), |x| s 1, |y| £ ir}. La restricción de 4> a [0, +)cn (0,0,0) y si = 0 o ir, entonces todos los puntos (r, 0, ) se aplican en (0,0, r eos ). (a) ± 1 . Ficha Bibliográfica. í-1 se puede tra tar introduciendo la transform ación lineal q>(x, y) = (x + 2y, 2 x - 3 y ) . 34.K. ; 39.0. Además, considerar el caso en que a» 2; 0. Inversamente, / ( x ) > M - e en algún intervalo de [a, 8], 30.H. n-7rxl 4 J- Bl (el A partir del hecho de que C , c B , s G L( f ) s L (p ) Suponga que K : W - * R px R * está definida Calcular la integral iterada N. Suponga quec 6 (a, b); entonces/ es g-integrable sobre [o, c] y [c, b]. Inversamente, si e > 0 existe(x0, yo) tal que S —t 0 es arbitraria, se deduce que S < sup{/,(x):x€ X}. 42. Sección 18 18.A. m < /(x) < M |jf( u , t>) d(u, v) = Jjfo i cado y se utilizan varias propiedades más profundas de funciones continuas, conjuntos compactos y conexos y las propiedades de ia integral. 30.P. q .e . 8.K. (bl En el punto (3 ,-1 ,-3 ) correspondiente a (s, t) = (1,2) se tiene ={(x, y, z):x = 3 + (s —l) + (t-2 ), y = —1 + (s-1 ) —(l —2), (d) En el punto (1,0,0) correspondiente a (s, i) = (0, íir) se tiene {(x, y, z):x = 1, y = s,z = -(!-}»)}. xJ„ Entonces, g es integrable en A v> A A» 45.K. DEMOSTRACION. ( R p). Q. la) Dominio compacto, sucesión uniformemente equicontinua pero no aco­ tada. 517 2. Tietze.H., 213 Tietze, teorema de extensión del, 213 Topología, 85, 95 Transformación, 30 de integrales, 2 6 3 ,4 7 9 ss Transformación lineal, 284 Traslación de un conjunto, 103 Tricotomía, propiedad, 51 Boas, R.F., Jr., A primer o f Real Functions, Carus Monograph Number 13, Math. Observe que g(x) = g(y),si y sólo si g (x -y ) = 0. 22.0. por lo que se infiere que f¡“e *’ dx = W ñ4 5 .0 . F. Entre raíces consecutivas de p',el polinomio es estrictamente monotono. 38.G. A. áea f(n ) = n/2, n e E. 3 . 13.C. . y 499 La última sección está dedicada al de­ sarrollo de teoremas importantes acerca de las transformaciones de conjuntos e integrales en aplicaciones diferenciales. Además, un punto x e U satisface la restricción g(x) = 0 si y sólo si F(x) 27. H arcourt, Brace and World, Nueva York, 1966. Demostrar que |/( x ) - /( } ) | = |x - í |. DEMOSTRACION Si / es constante en J. se puede tomar c = (a + b)l2. 492 + 2(x • y) + ||y||:. 29.P. C arian, H. P., Cours de Mathematiques. ó JJV (*’y>d(x’y>’ I (a) =o, (c) 1/e, (O 1. y -x y y(A ). P. Observe que c, = e, - /(e,) y aplicar la desigualdad de Schwarz. report form. ^ ) = ( t ^ 2 7 ’ 2 Í^ t ) Sección 45 45.A. y e K , para ; = r + 1 , . Sea e > 0 y sean S (c,/) y 8(e, g)como en la definición 39.2. Gelbaum, B. R. y J. M. H. Olmstcd, Counlerexamples in Analysis. 3 (c) Calcular f,(0) de dos maneras. para x g W. i La hipótesis descarta la posibilidad de que la) ESTA O B R A SE T E R M I N O DE IM PRIM IR E L DIA 17 DE A B R IL DE 1 9 9 0 , EN LOS T A L L E R E S DE P R IN O M E X , P O P O C A T E P E T L NUM. B. ( f 0 No. Dado que el intervalo ( - 1 , r)es una ve­ cindad de este límite, existe K e N tal que 0 < x ,'" < r P °r 1° qu e O < x .< r " para toda n & K. | (c) Sean w+, w_ vectores unitarios en R p tales que D 2/(c)(w+)2> 0 , [eos X eos 3x . * Para hacer esto, sea e > 0 y sea 8(e) como en la definición 26.6. 4 1 .R. Si m s f(x) £ M para x e J , entonces « í - | v A ~ v ~ +~ Más aún, en muchas aplicaciones la determinación de si los puntos son realmente extremos se puede basar en consideraciones geométricas o físicas. . I d y le) son divergentes. Introducción al análisis matemático 4 [~scn j t r x 38.R. A e 2>(RP> c o n ju n to Si A = 0,entonces /(—b, a) = (0,0). Si A e 9)(Rp)y si / es una celda cerrada que contiene a A. entonces la función gi definida como g,(x) = 1 =0 No, tanto (0, I) como ( 0 ,- 1 ) pertenecen a C 2 . Sección 43 43. Si sólo hay un número finito de puntos en {x,: n e N}, entonces al menos uno de ellos ocurre una infinidad de veces y es un punto común. ' A rgum entar como en 9.J, o bien tom ar complementos y usar 9.J. i f ‘ ~h,) = [ & = 1 f- (x) p a r a a s x s c y (/gO(x) = /(x)gí(x) parac. II .G. ' , cm)y e >0, sea P una partición tal que cada uno de los subintervaios que contiene alguna de las c„ . [a, a] x fe, d], 40.G. * Se infiere que una celda en R r tiene contenido; más aún, fácilmente se puede ver que si J = [fli, b j x - • -x[ i"m+1 B. Demostrar que el conjunto s í de polinomios'en co sx satisface las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass. Integración en R* A. Considere z» = y«-x,. Si hay una infinidad de puntos en el conjunto acotado {x. (a) En (1,1,2)se tiene SF{(x, y, z):2x + 2 y - z = 2}. E Ecuación diferencial, 285 Elemento, de un conjunto, 17 Elemento identidad, de un campo, 46 Elementos irracionales de un campo, 50 Equicontinuidad, 215 ss Esfera en un espacio cartesiano, 78 Espacio-cubriente, curva, 450 Espacio de producto interior, 75 Espacio de producto interno, 75 métrico, 81, 95 normado, 76 topológico, 73 vectorial, 73 Espacio normado, 76 Espacio nulo, 421 Espacio tangente, 3 9 1 ,4 2 8 Espacio vectorial, 73 Eider, L., 406 Expansión binomial, 236, 360 Extensión, de una función continua, 213 11 de una función, 31 Extremo, 430 Un vector fa.b.c) está en el rango de/ si y sólo si a - 2 b + c = 0. (d) / - f (/° W I ^ [ ( V p M .m + M jM je. 24.5. *, -• ] Ahora, sea í l x= {y e R r :||y - a|| < 8 para alguna a e A}, de tal manera que Hi es abierto y acotado y A _ s íl, y ílf s fí. Sea F = {y e R p:|)y - x || = r}, entonces todo punto de F tiene la misma distancia a .x. /.V 8 Tsen x , sen 3x . ‘ Dh(c)(u) = D/(g(c))(Dg(c)(u)) = D/(g(c))(ug'(c))= uD/(g(c))(g'(c)) por lo que h'(c) = D/(g(c))(g’(c)). Huimos, P. R.. N aiveSet Theory, Van N ostrand, Princeton, 1960. de tal manera que Q * 3 p tiene a lo más n - 1 puntos m asque Q. Demostrar que S (Q * ; 0 “ S ( O ; /) se reduce a lo más a 2 ( n - 1) términos de la forma ± { /({ )- / ( tj)}(*i ~y¿\ con |x , - y k| < 8. 40. Sea B la intersección de los conjuntos {(x, y, z ) : x 2+ y 2+ z J s 2} , c„ tiene longitud menor a e/2mM, en donde M a sup {||/||,, H/.IU}. ex + d y = 0 Sea f integrable del rectángulo J = [a, b] x [c, d] R y supóngase que. | O b se rv e q u e el c o n ju n to {(*, y, z ) :0 s: x 2+ y 2 es {, (x 2+ y 2) 1'2 s z < ( l - x ' - y 2)1'2} un “ corte de sector cónico de la bola unitaria” en R 3. [b, b] x [c, d]. }, entonces hay un punto de acumulación .v. /(r)dt W. Si x € [O, + »). y DEMOSTRACION. (b) Si / es una función acolada, integrable en todo conjunto [ó /(x )> /(c )] eos 2x . (h. c. e) Punto silla en (0,0). 507 504 40.4 TEOREMA DEL VALOR MEDIO. Assn. (a) Si J s Iu es una celda cerrada y e > 0 , dem ostrar que existe n e N tal que la unión de lodos los cubos en G M,. Burile, R.G., The FJements o f Inlegration, Wiley, Nueva York, 1966. + í0 . 40. , i Inversamente, si e > 0 existe(x0, yo) tal que S —t 0 es arbitraria, se deduce que S < sup{/,(x):x€ X}. Obsérvese que b" - a" = ( b - a ) ( b ',~, + — + a " '1) = (b - a)p, en donde p > 0. Sección 40 40. j j d g =|Vgí. 6. Sea í l e R r abierto, suponga que f R tienese­ gundas derivadas parciales continuas en íl, y sea c e í l un punto critico de f. (a) Si D 2f(c)(w)2> 0 para toda w € R ', w ^O , entonces f tiene un mínimo relativo estricto en c. (bi S i D 2/(c)(w )2< 0 para toda w e R p, w ^ 0, entonces f tiene un máximo relativo estricto en c. Ic) S i D 2/(c)(w )2 toma valores estrictamente positivos así como estrictamente negativos para w e R p, entonces f tiene un punto silla en c. DEMOSTRACION, la) Por hipótesis, D 2/(c)(w )2> 0 para M' en el cónjunto compacto {w e R p :||w|| = I}. 42.H. Sí. y Sea f(x ) = —1 para x € [ - 1 , 0 ) y f(x) = 1 para x e [0 ,1 ]. . = cu,-j(l)2 ir/p. z e U ' c R p. Plano tangente, 383, 391, 3 92,428 Raíz, multiplicidad de, 235 Polinomio trigonométrico, 365 simple, 235 Potencia racional de un número real, 63 Rango de una función, 2 8 ,4 2 0 ,■ Par ordenado, 25 Raíz simple, 235 f Paralelepípedo, 91 Razón, prueba, 327 Paralelogramo, identidad, 80 Recta tangente, 391 Parametrización, teorema, 421 Regla de la cadena, 394 Parseva!, igualdad de, 371 Reordenamiento, teorema, 323 Parce real, 110 Residuo en el teorema de Taylor, 234,272 Peano, curva de, 450 forma de Cauchy, 234 Perpendicular, 80 forma de Lagrange, 234 , Polinomio, Bernstein, 195 forma integral, 272 trigonométrico, 365 Restricción, 435 Polya, G„ 200 Restricción de una función, 31 Potencia de un'número real, 49,62-63 Reimann, B., 240 Potencias ¡nacionales de un número real, Riemann-Lebesgue, lema, 367 64 Riemann-Stieltjes, integral de, 240 ss Primer teorema del valor medio, 259, 261 suma de, 241 Producto, Cauchy, 344 Riesz, F., 277 de funciones, 167 Riesz, teorema de representación de, 277 de sucesiones, 114 Rolle, M„ 224 ' de un número real y un vector, 74 Rolle, teorema de, 225 infinito, 336 Rosemberg, A., 70, 78 puntual, 75 Rota, G.C., Producto infinito, 336 Producto interior, 75,283 Producto punto, 75 S Propiedad, 19 Propiedad arquimcdiana, 58 Salto de una función, 171 Propiedad del buen orden, 39 Schoenberg, I. J., 456 Propiedad suprema, 58 Schwarz, desigualdad de, 77 Propiedad algebraicas de R, 46 ss Schwarz, H. A., 77 Propiedades de orden de R. 50 ss Prueba de Leibniz para series alternantes, Schwartz, í. T., 480 Segunda derivada, prueba, 432 340 Segundo teorema del valor medio, 261 fórmula, 274 Semicontinuidad, 206 Prueba de raíz, 326 Series, 317 ss Pruebas para convergencia de series, 325 ss absolutamente convergentes, 320 Punto crítico, 431 alternantes, 340 Punto, de acumulación, 92 armónicas, 321 crítico, 431 condicionalmente convergentes, 320 exterior, 87 de Fourier, 330 ss frontera, 87,458 de funciones, 347 ss interior, 87 límite, 92 dobles, 342 ss silla, 432 geométricas, 320 Punto exterior de un conjunto, 87 hipergeométricas, 336 Punto frontera, 8 7 ,4 5 8 potencia, 351 ss Punto fijo, 187 p-series, 321 Punto interior, 87 reordenamientos de, 322 ss ^Punto límite, 92 Series alternantes, 340 Series armónicas, 321 Series de potencia, 351 ss Series de seno, 361 R Series dobles, 342 ss Raabe, J,L„ 329 Series geométricas, 320 Raabe, prueba de, 329 Series hipergeométricas, 336 Radio, 66 Series infinitas, 317 ss Radio de convergencia, 352 Silla, punto, 432 Por el teorema 12.7 cualesquiera dos puntos en í! Por lo tanto, el conjunto en el ejemplo 43.2(g) tiene medida cero (pero no tiene contenido cero). Más aún, D(x, 0) = fx, Si x e í, para toda n. se tiene una contradicción a la propiedad arquimediana 6.6. En la sección 43 se verá que para funciones acotadas definidas en una celda cerrada en R p, la teoría prácticamente no cambia de como era R. Sin embargo, con el objeto de poder integrar sobre conjuntos más generales en R ' es necesario desarrollar teoría de “contenido” (como se llamará al cancepto p-dimensional de “ área” ) para una familia apropiada de conjuntos en R p. como se hace en la sección 44. En términos de derivadas par­ ciales, esta condición significa que existe un número real A tal que (42.4) pDf(c) = A i D g i ( c ) + • • ■+kDgk(c). 502 Q.i .n. Sin embargo, sí se requiere que el punto en el que se está definiendo la derivada sea punto de acumulación de D y pertenezca a D. 221 . Stone, N. H „ “ The Generalized W eierstrass Approximation Theorem ” , Mathematic Magazine. . Sugerencias para ejercicios seleccionados (es), 113 ss.. ada, 116 ente de, 115,123> Bergente, 114 'auchy, 132 unciones, 137 ss., 191 ss .tedias aritméticas, 152 rencia de, 115,123 rgente, 115,150 le, 153 •in espacio cartesiano, 114 jn espacio métrico, 126 Avalente, 152 .ada, 154-155 ¡I te de, 11'4 nótona, 127 acotada, 150 rducto de, f 15, 123 ¡a de, 114,123 Sn intercalar, 135 m es equivalentes, 152 ilidad de Abel, 357 Cesaro, 152, 371 de Riemann, 241,450 dos funciones, 74,167 dos sucesiones, 114 dos vectores, 73 ! Si x es un punto de acumulación de /I en R ' y N es una vecindad x, entonces N fl{ y e R p : ||y - x ||< 1} contiene a un punto a ,e A, a , ^ x . / - f (/° W I ^ [ ( V p M .m + M jM je. G. (a) ± , KM. (b) Sea D c R 2eI conjunto de puntos en R 2 dado por D = { ( u , » ) : l S H 2- t ) í < 9 , l < u t ) < 4 } ; De donde, D está acotado por cuatro hipérbolas. L. (a) Sea r } y fijeL = Alternativamente, si e > 0 , existe m (e )ta ! Sea e, dada con 0 < e < 1, Dado que la aplicación x »-» Dcp(x) es uniformemente continua en O,, existe 0 con O < 0 < 5 tal que si X i,x jeíl, j ||xi —x2|| < P ; entonces, ||D Considere tres casos: p = 3k, p = 3k +1, p = 3k + 2. Sea A . {(x, y):y = ±x}. I I/0 O -/M Se va a suponer que a = 0 y b = 0 y s e usarán la notación y los resultados establecidos en la demostración del teorema de pa­ rametrización. Considerar las sumas parciales s* con n/2 < k s n y aplicar el criterio de (c) en (1,1) se tiene {(x, y, z): z->/2 = -(x + y-2)/V5}. Entonces, / está contenida en la unión de n ([a 2/c ] + l) • • • ( [ a ^ c ] + l ) cubos con longitud lateral c que tienen contenido total menor a 2(a, ■• • a ,) = 2 c(/). Sección 27 27. Amer. , q , i = 1.........p, e n to n c e s d e m o s tra r que |Ü ,/i(x ) - D J :1(y)Í s ||ü f ( x ) - D /( y ) |lP,. Jo{J0 dí} / . /g - £ /(*i)g(yi)c(K,)| < | £ fg - Z /(*,)g(x,)c(Kl)| + 1E /W [g (* i) “ g(yi)]c(K>)| s ec(K). . |J»(x)|(l-*e)p < Sección 29 29. 8.K. 3.C. C arian, H. P., Cours de Mathematiques. Demostrar que si c e R, entonces la restricción de g a cualquier vecindad de c no es una transformación suprayectiva sobre una vecindad de glc). Simmons, G. F„ Introduction to Topology and Modern Analysis. If) Mínimo re­ lativo estricto en (0 ,0). x e A \ B. f tt> x , es uno-a uno y aplica A sobre A \{b,}. Introduccion Al Analisis Matematico Bartle Author: git.dstv.com-2023-01-10-09-00-09 Subject: Introduccion Al Analisis Matematico Bartle Keywords: introduccion,al,analisis,matematico,bartle Created Date: 1/10/2023 9:00:09 AM + 1 fb = [ (f. + A) = { < /.+ /-) = [ t + [ u Sin embargo, existen algunos teoremas generales que son útiles y se presentarán en seguida. Dado que R r es abierto, (K ')° = R p. S e a /I el conjunto de to­ dos los números racionales en (0, 1) y B el conjunto de todos los números irracionales en (0, 1). Por lo tanto. Sea I c R ' una celda cerrada y sea f : I - * R acotada. Se ofrecerá ahora un teorema que hace posible manejar las dificultades que se han encontrado en el uso de coordenadas polares y esféricas y que a menudo es útil en otras “ transformaciones con singularidades” . sen 5x . 21.D. DEMOSTRACION. n La dimensión rfL) de R L se llama el rango de L y la dimensión n(L) de NL se llama la nulidad de L. (De modo que el rango de L es el número de vectores li­ nealmente independientes en R* necesarios para generar la imagen RL, y la nulidad de L es el número de vectores linealmente independientes en R p nece­ sarios para generar el espacio nulo NL.) Si A ={x......., x»,x„,,} . Sin embargo, demostrar que en toda vecindad de (0,0) existen puntos en los que f4 es estrictamente positiva y otros en los que f4 es estrictamente negativa. . N. T. y J. Landin, Set Theory. Sección 7 7.B. en donde CR ={(x, y ) :0 £ x, 0 < y, x J + y 1 s R 2}(b I Si B l = {(x, y ) : 0 £ X £ L , 0 £ y £ L } , dem ostrar que J J e - ^ d í x , y) = ( j V * ‘ d x ) . de celdas cuya unión contiene a Z y tal que £ c ( - f j< e . Por lo tanto, este caso nos lleva a los dos puntos (4/75, 2/75, 3(l - 7 5 ) ) y (-4 /7 5 , -2 /7 5 , 3(1+75)). ||/ ( x ) - / ( c ) ||- K ||x - c ||. , y,}. 43.B. xf(x) dx, [a, b], Si m > n, entonces x „ = + l ; si m = n, entonces su. Sección 9 9.A. 22.0. Sección 17 17.A. Valor absoluto, de un número real, 53 de una función, 168 de un número complejo, 111 Valor de una función, 28 Valor intermedio, teorema del, 179 Valor máximo, teorema del, 180 Valor mínimo, teorema del, 180 Variación acotada, 253 Vecindad, 87 Vectores ortogonales, 80 Sea P una partición tal que cada uno de los subintervalos (a lo más 2m) que contiene algunas de las r „ ...,r m tiene longitud menor a e/2m. 217 en donde |ut —tv |< S(e) por lo que esta suma está dominada por cM. Usar 43.G. j j d g =|Vgí. Entonces, Df3(0 ,0 ) = 0 de manera que el origen (0,0) es un punto crítico de f 3• sin em­ bargo, no es un extremo relativo de f 3 ya que /,( 0 ,0) < f 3(x, y) Si la serie es uniformemente convergente, entonces, |c. x = u 2- v 2, y = uv, entonces es claro que 4* aplica estas hipérbolas del plano (u, v) en las rectas x = 1, x = 9, y = 1, y = 4 del piano (x, y). 496 Integración en R ' para =I Ío{ío Conjuntos con contenido Se definirá ahora el contenido de un subconjunto de R pcuya frontera tiene contenido cero. Usar 43.G. C. Sea S = {x eQ :x 2<2}. Dado que b(A) y b ( f l o)son compactos y tienen contenido cero, se puede suponer que están contenidos en E; por lo tanto, A° \'E £ ílo \ E. Dado que A y E tienen contenido, el conjunto A \ E tiene contenido: más aún, como £ es cerrado, (A \ E )“ = A° \ E de tal manera que J,(x)& 0 para x e ( A \ E ) ° . Foundations o f Modern Analysis, Academic Press, Nueva York, 1960. Monthly. Dado que x»,, no es un pico, existen m 2> m, tal que x ., < x»r Continuando de esta ma­ y aplicar el ejemplo 1 5 .5 < c jy e l teorema 15.6 (a). y por continuidad C(l) = A(1)B(1). , 42.S. (a) Ninguno existe, (b. c) Los tres son iguales, (d) Los límites iterados son I9.E. Wiley, Nueva York, 1952. M. Sea 0 £ a < b y sean f : [ a , b ] - * R y S, como en el ejercicio anterior. Por lo tanto, / es inyectiva. C. la) y (e) son divergentes, fb) es convergente. Indice DEMOSTRACION. . ñera se obtiene una subsucesión estrictam ente creciente (x™,) de X. I 6.G. Por el teorema 12.7 cualesquiera dos puntos en í! DEMOSTRACION la) Sea eo tal que 0 < e o < /'(c ) y tome 8 = 8(e0) dependiendo de e0 como en la definición 27.1. = Demostrar que g es una biyección de R sobre gfRJ. parte I, Wiley-lnterscience, N ueva' York, 1958. /.V 8 Tsen x , sen 3x . C. Obtener la función del ejemplo 20.5(A) de esta manera. De hecho D,/(x, y)= y(xí - y 5)(x, + yí) ', + 4xJy3(xJ+ y 2) '1 y D„f(0 ,0) = —1, mientras que Dx,/(0 ,0) = +1. . Introducción al Análisis Matemático (Armando Venero B. L et m, p e !S , p s m. T hen n ,(X + Y ) = sup{x, + y . Sección 27 (b) Diverge, (f) Diverge. Sea í l ^ R ”abierto y suponga que / : i i —> R ppertenece a la clase C'(ft). Sección 23 23. eos 4x eos 6x (b) 2 1 7r tt|. Bolzano-Weierstrass, teorema, para conjun­ tos infinitos, 92 para sucesiones, 131 Bonnet, O., 262 Borel, E., 97 Brouwer, L. E. J., 189 Bunyakovslcii, V., 77 29.P. Si x pertenece a E n U A , entonces x e E y x € (J A,. g (t) = C tk para alguna co n stan te C. Dado que /(c ) = g (l) = C, se deduce que f(tc)= g(l) = *k/(c ), por lo que / e s homogénea de grado A. Introducción al análisis matemático U sar ahora el criterio de Cauchy. (El lector deberá hacer un diagrama para poder visualizar mejor esta situación.) que si x a m (e), entonces |s u p { /( x ) :x > r } —L |< e . para n e N . 14. En cualquiera de los casos, hay una vecindad de c. ajena a b(A I. de tal manera que A )) es abierto. Suponga que g : R ' - * R ’ pertenece a la clase C ‘(R p) y satisface l|D g(x)||„ s a < l para toda x e R F. S i/(x ) = x + g(x)p ara x e R", dem ostrar q u e /sa lisface K. Tome /(x )= se n x, g(x) = x, p a r a x e R . para ||z|| < 0. . Además /(n )+ /(-n ) = 0, de tal manera que f(n) = nc para n e Z. Dado que /(m/n) = m/(l/rt), al tomar m = n se infiere que /(1/n) = c/n, por lo que /(m/n) = c(m/n). 44.D. H. La función / tiene raíces de multiplicidad n en x = ±1; / ' tiene raices de multiplicidad n - 1 en x = ±l,y una raíz simple dentro d e (-l, 1); etcétera. . Sección 11 I I.A. Complemento de un conjunto, 23 Componentes de un vector, 78 Condición lateral, 43S Conexidad, conservación de, 178 Conjugado, de un número complejo, 110 Conjunto abierto, 83 Conjunto acotado, 91 Conjunto cerrado, 86 Conjunto compacto, 95 Conjunto conexo, 103 Conjunto contable, 40 Conjunto convexo, 80 Conjunto finito, 40 Conjunto inconexo, 103 Conjunto infinito, 39 Conjunto ordenado, 469 Conjunto ortonormal de funciones, 377 Conjuntos ajenos, 21 Conjunto(s), punto de acumulación de, 92 abierto, 85 acotado, 91 ajeno, 21 Cantor, 67 cerrado, 86 cerradura de, 90,458 compacto, 95 complemento de, 23 complemento relativo de, 23 conexo, 103 contenido de, 459 - .. convexo, 80 diferencia simétrica de, 26 enumerable, 40 finito, 39 igualdad de, 18 inconexo, 103 >' infinito, 39 interior de, 90, 458 intersección de, 20 no intersecable, 21 ’ numerable, 40 ordinado, 469 producto cartesiano de, 25 punto frontera de, 87.458 punto exterior de, 87 punto interior de, 87 punto límite de, 92 unión de, 20 . • i, = mi, mi., • • • mi, = jdet Li| jdet L2| • • • |det L,| = |(det Li)(det L,) • • • (det L,)| = |det ( L, ° L2°- ■-°L,)| = |det L|, el teorema está demostrado g(0) = 0, en cuyo caso g(x) = 0 para toda r e ñ í o bien g(0)= l,en cuyo caso g(a + h) —g(a) = g(a){g(H) - g(0)}. (0) = ( - l) '( s e n 0,)'(sen02),’~J • • • (sen 0,_v)2(sen 0,). . Gelbaum, B. R. y J. M. H. Olmstcd, Counlerexamples in Analysis. (Aquí, son los vectores de la base usual en R“.) Sección 22 22. K. Observe que 2m n < m *+ n 2. i Prcntice-Hall, Englewood Cliffs. £ /=_[/.=£ Mc(A) + £> y puesto que f > 0 es arbitraria se obtiene el lado derecho de la desigualdad (44.3). 515 Se demostrará en seguida que el concepto de contenido cero que se intro­ dujo en la definición 43.1 es consistente con el concepto de contenido que se introdujo en la definición 44.2. [La función que resulta x *-» A x 2+ B x + C se dice que es la función cuadrática que “ mejor le queda a / e n [0 ,1 ] en el sentido de mínimos cuadrados”.] Entonces A n C ' y B n C 1 son ajenos, no vacíos y tienen unión C '. p a ra x e A , p a ra x G /\A , I7.Q. f '- l > para cualesquiera números reales u. r. Ninguna orientación de este tipo se ha definido para integrales sobre R r. 2. + • ■• + 2"a2-} y por arriba por a, + 2a2+* • •+ 2*~,a1»-' + a2-. Sea Dado que D g(c)(u) = (u g ',(c),. 514 Encontrar los extremos relativos cerca de 0. + • • • + © “■*] s M, que prueba la última afirmación del teorema. P A R A J E SAN J U A N , I Z T A P A L A P A ME XICO, D. F. 490 Sean P, y P2 las transformaciones lineales en R p definidas como la) es uniformemente convergente para |t| & a > 0 . 25. Demostrar que b, + b2+- • • + !>.& a ,( l + }+ - • •+ 1/n). 44.3 LEMA. que si x a m (e), entonces |s u p { /( x ) :x > r } —L |< e . 40.Q. O.E.D. Sugerencias para ejercicios seleccionados , cm)y e >0, sea P una partición tal que cada uno de los subintervaios que contiene alguna de las c„ . Se forma una sucesión de particiones de / en cubos con longitud lateral 2'"6 por medio de una bisección sucesiva de los lados de /. Ibi Si se toma./,' = (a „ a,), entonces la celda j ’ = j[ x J , x • • • x J, es vacía y tiene contenido cero. L1 Luxemberg, W. A. J., “ Arzela’s Dominated Convergence Theorem for the Riemann Integral” , Amer. ¡eos 2x . Teorema de inversión, 414,429 Teorema del punto más próximo, 101 Teorema de orden, 424 Teorema de unicidad para series de poten­ cia, 355 Teorema del valor medio, para derivadas en R. 224 ss para derivadas, en RP, 398 ss para integrales en R, 2S8, 260-261 para integrales en RP, 465 Teorema fundamental, de álgebra, 111 del cálculo integral, 260 Teoremas de aproximación, 193 ss., 210 ss Teoremas de intercambio, referentes a conti­ nuidad, 192, 273, 299, 348 referentes a diferenciación, 233, 274, 3 0 0 ,3 4 9 ,3 5 4 ,4 0 2 referentes a integración, 270 ss., 273 ss., 348 ss., 353,465 ss referentes a integrales infinitas, 299 ss referentes a series, 347 ss., 358 referentes a sucesiones, 192,23 2 ,2 7 0 ss,, 302 ss. En este caso la derivada de la fun­ ción solución cp en un punto x está dada por /l.P + t Con facilidad se puede ver que YM,e. De manera más general, si f e s de valor real r x e A, entonces ■■■■■■• (44.3) Transformación por aplicaciones no lineales Se obtendrá ahora una extensión del teorema 45.6 para aplicaciones C* que no son lineales. ( c ) D a r un e j e m p l o d e c o n j u n t o s a j e n o s A , B t a l e s q u e 0 * c* (A ) = c*(B ) = c * (A U B ). 1 Si la serie es uniformemente convergente, entonces, |c.
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