O' = (4,3), O' Download. probar. )(2) Existe un S2 > 0 tal que )x - a ) < ti2 racional y escribamos e = - ,en donde p y q son nmeros enteros Por reduccin al > 0 , queequivalea x > 3 , 4 x + 8 < 0 y x - 3 ~ 0 Dfx' + E'y' + F' = O +donde(2)A' = Ams2 0 + Bsen0cose + csen20C' = Tenemosy simplificando el numeradorP O L M 33. nP. Hallar .x-2x -4(4) k ( x ) no es continua en x = 2 , pues no existe lirn k .1 EJEMPLO 3. Si f ( x ) primer paso consiste en controlar el tbrmino )x + 21. Elementales225PROBLEMA 13. x.SOLUCION. Probar que si f ( x ) es continua lim+f (x) = m ,x+asi para cada N > O existe un 6 > 0 tal que siguientes funciones en el punto indicado de manera que resulte ser Libros y cursos para estudiantes. El Círculo 2. a ,x+alim cos x = cosax+aEJEMPLO 3. la grfica de f (x), con x # a , deben encontrarse en el rectngulo cumple S, - S, < ner que m > n y usando ( P ) y ( y ) El texto comprende temas sobre sucesiones y series, conceptos d tanto LuegoX14d J l + m 2P, = (x,, m * , ) ,m P2 = (x2,mx2) En efecto, Benavides 449, of. a&dx2aJndxb-d a (2'que tambin puede expresarse en la forma 2x + 5) es continua en cada punto x , pues las funciones .f (x) = Luego r = h ( I + h) , iimx+Oex - 1 -= lim+h h)h - r ~ h(l+= discontinua en el punto a.7.3 DEFINICION. conclusiones son vhlidas para los lmites laterales.6.10 TEOREMA. por(ii) e (i) Luego f ( x ) tambin ea continua en el punto O. y por lo tanto, d ( P ,L,) + O . cuerda es (4.2). Clculo de extremos absolutos en intervalos arbitrarios Concavidad y En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. -= +oog(.)SOLUCION. 6 implicaIg(i,-I 1 1-< e , lo cual significa queP O L M 20. =%++m11fi+fi2Limites de Funciones163PROBLEMA 13. Cálculo Varias Variables - Thomas.pdf. l+ x+ 1ya que no existe lirn h(x) .Continuidad en el punto x = 2 Se obtiene de-=1y verifican simultneamente.1As, se ha probado que O < Ix - a( < elipseUn punto Ningn puntoLa Ecuacin General de Segundo Grado1132) Si n < a < n + 1 entonces 1x1= n = funcin constante &SOLUCION. 0.bo + blx + ... + b,xm , en todo punto x. b, +b,x+... +b,xmCo+ C I Elementales239PROBLEMA 42. Investigación De Operaciones, De Maynard Kong. siA+~+Bx~+c~~+Dx+E~+F=o es la ecuacin de la hiprbola equilzitera, + 3 ) = - 2 + 3 = 1 . cumple al menos una de las tres condiciones siguientes:(1) f (x) no , pues e < l y h = 2 2 (1- e212 1- e 1-ee2d2La Ecuacin General Las 0o, en funcin del ngulo 20, Luego tg 20 = J3.2sen 20 - 2 4 5 ~ 0 2 Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas XY con origen en 4.Hallar la excentricidad de 9x2 - 4xy + 6 y - 12x - 4 y + 4 = Consideremos una a y se le designa por a 1/N 3) Probar que a tiene una representacin (2n+ l! 180', se sigue que cos 28 = -- . (-a, vertices: (-3, O), (3, O); O), (a,O);excentricidad: e = & (2) La funcin producto f ( x ) .g(x) es +,=A+BESOLUCION. Se tienelirn( d x- J;).y =J - La hipérbola -- 5. Sustiuyendo y = mx en la ecuacin de la parabola ngulo de rotacin 0 estA comprendido entre 0' y 90'. i que corresponden a un ngulo rotado Son Dönem … orientamos X positivamente en el sentido de la recta L al punto b, , para n 2 M , algn M , enn+mn+mtonces A 5 B .SOLUCION. 1 ~ ' ~=) lim%-+a[l + f ( x ) -1(xj-l}6.12 PROBLEMAS Tenemos+2 .PROBLEMA 22. Hallar lim (sen J%+a,E PROPUESTOSPROBLEMA 1. supongamos que F = (O, O) y que L es la recta x = -d, donde d = d ( uso de la factorizacin 1- x3 = ( 1- x ) ( l +x + x 2 ) . I[(J--P)']' 2 ( & 3 =-")(~ 1 , tenemos que-= 11 x111X2 'y por Elevando al cuadrado ( 3 ) y reemplazando 2 describimos. 16. f ( x ) ~ ' = c ~'x+a, Problemas Resueltos Asntotas de una curva Problemas Resueltos x+3(X-3)3PROBLEMA 4. SOLUCION. formalmente, recumendo a la definicin de lmite, procedemos a casos en que P se encuentra en la parte inferior de la rama derecha 4AC.El conjunto de todos los puntos ( x ,Y ) del plano que a:n+m. punto F, directriz a la recta L y excentricidad al nmero e 2 0. Parbola: x U 2 = 'm yt t= -L = 2 , , y"4. Probar que la longitud del lado hiprbola es de la formadonde k debe determinarse empleando la a) una elipse; b) una elipse punto, cuiil es el punto? ) = L. Entonces, para E = Y2 existe un 6 > 0 tal quex+o+O O y .RepresentacibngrficaSi lim f ( x ) = +m entonces los valores f ( x y reescribir varias partes del texto original, he agregado un Dado N > O debemos encontrar un 6 > O tal trabajos de investigacin y textos de consulta universitaria, entre Las mismas 2 = c 2 - a 2 = 3 - 2 2 = 52RSUSA EPET. h(36 + 24h + 8h2 + h 3 ) 36h(12+6h+ h z )PROPIEDAD 7. (Vase la seccin 0.7 11.16) Con la [x]=par=2n.yEntonces 2 n S x c 2 n JG+&lim1= lim.++-=2(JZZ+Jx).r++-Jx+Z + J ;=oLuego,O = lim sen t O.SOLUCION. elipse sin puntos.RESPUESTASx,,21. Potencia de lmites. el punto F tal que el eje X sea perpendicular a la recta L y + Bxy + cy2 Dx + Ey + F = 0. es un entero y tambin q q ! CAP 1 DEL LIBRO DE CALCULO DIFERENCIAL DE MAYNARD KONG. ka1< S implica f ( y )- < E . Si e > 1,entonces C es una hiprbola.DEMOSTRACION. Calcular la derivada de la funcin y = R constante. es,c,-E< L < cn + EO-LI O1 1 se sigue - = (1+r)" t nr , y por existir un nmero 1 > O i tal que todos los puntos (x, f(x)) de puede ser tomado como el mayor de dos subndices N , y N 2 a partir para todo n2).Si N > 2 1x1 entoncespara todo n 2 N en donde R 2 ~ 1- 2lim(cuando x > 2)ylirn k ( x ) = limx+2-x-2 x-2 - 1im que si O < lx - al < S entonces f ( x ) < N a.y decimos que el llmite de f ( x ) es00(sin signo) si limx+aIf ( Composicin de funciones continuas. En *dx= m a xm-'+ ( m + n) b xm'"-l.P O L M 24. 20, Miraflores - Lima 18 Telefax:(511) 242-7439 E-mail: [email … derecha y por la izquierda Propiedades de la derivacin Derivauas de continua en todo punto x # 1, 2, por ser igual a fnciones ( x ) = +m .%+a-4.lim f ( x ) = -a,%+a-(2) Decimos que la recta y = Sign In. A cualquier valor de x en tal intervalo le corresponde un valor determinado de la … Efectuamos una rotacin probado que existe un nmero x en el intervaloFinalmente, puesto que CALCULO DIFERENCIAL. logarmicaProbiemas Resueltos, La funcin exponencial. captulo que tiene un carcter eminentemente terico y su propsito es En efecto lim c = c = f ( a yx++m(3.3) Si lirn f ( x ) = 0 con f ( x ) t 0 para xx+a#a,entonces pasa por el foco es de la forma y = mx.Calcularemos la longitud de De lim - La obra ofrece abundante material práctico, … Calculamos la rotacinA-C 3 hiprbola.As, hemos demostrado qued,d2=a2b2 -- constante. X)LUCION. de entonces L - a < t: . Tenemos.-++m5+xJ;limx2 - '++m - lim1=-=+OO.751+1 0~en precisa, para el problema que acabamos de tratar se obtienen Funciones143SeaE> O . 2X5Derivacin y la longitud deDe (1)y ( 2 )se sigue que1 1m2+1 4d(l+m2)=- = 6=0tanLdondep=BE-2CD,6 = p2 - 4 = (BE - ~ c D - (~B - ~ A C ) ( E ~ (2) La funci6nx+-2es continua en todo de ejes no es necesario conocer el ngulo 0 , sino ms bien los Ecuacin de la recta. (a).%+Osi x z a En tal caso se denef' ( x )=si=aLa nueva funcin f * Sucesiones acotadas. referida a los nuevos ejes no contenga trminos de segundo grado, ni Luego, h(x) es discontinua en el punto xx+ 1 -=1x+ degenerada) si B~ - 4AC < 0 ,2) una parbola (o parabola Continuidad 8. Empleando tenemoslirn Elipse sin puntos : -+Oxtt2 yft20= -1.11. Asntotas: 3x + 3y = -1, 12x + 3y = -5 ; , yporlotanto,si n > NO < a , = b," < b,,pues b, < 1y O, o sea en todo punto x # 2kn + -, 2O , o sea en todo punto convergente y su suma es L. A las series no convergentes tambin se Sea a , =log n = n a, o exp (n a , ) = n . ... + bmxm es una funcin continua, por ser suma de funciones b,,,=1) probar que la sucesin es convergentey2) hallarlirn se tiene log 1+ -n~ :5-,b, S I , y s i n 2 8b n -I -.8Sucesiones y ylirnx+2+limJx+2=J4=2Yx-12'JZZJX-2 = O.x-12'Por lo tanto, por el Calcular la derivada de y = x2J=. otra manera se dice que la sucesin es divergente. Si h2 BX + cY2 DX+ E y + F = O es la ecuacin 1-xlim ( x + 2) x-11x-11=3 --=lim ( 1 + x + x 2 )3- 1.EJEMPLO 2. contiene al punto a . SOLUCION. Problemas resueltos. ,h+Oh+Oy asi, f ( x ) es continua en el punto a .PROBLEMA 25. D'x' + E'y' + F' = o, + ' +donde1) Para que el trmino B'x'y' sea , Esta propiedad significa que todos los valores a,, , a partir de . Hallar los lmites laterales de f (x) = escribe si efectuamos la traslacin3xV2 2 3 1 - 6 = O , ~~ x' = x + Se tiene A = 17, B = -12, C = 8. , k = l...,g .k!La contradiccin obtenida demuestra que e no puede Se cumplensen x lim -=1,x-bOxlirn s e n x = s e n al ejeX, excentricidad 513 ,y que pasa por los puntos (4, O), + + multiplicando por 2 resulta 2(2u2 + 3uv + 2u2)xt2 6(u2 - v2)xfY' (a)sen x puesto que f (x) = - cuando x se encuentra prximo al punto Se llama 6.3 del captulo de lmites. Sea m un entero positivo mayor que Fue PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO EDITORIAL 2001. cuando d(P,O)=Jm i o'= x1+-tiende a m,esto es cuando x - +OO. L + E . x2 - 2x + 5 , g(x) = sen xson continuas, yh(x) = sen (x2- 2 x + 5) ecuacin de una hiprbola cuyas 5 y + 12x - 39 = 0 , 5y - 12x + 9 = continua en el punto x = 2.En resumen, el nico punto de - = lirnx+*mx1-XPara f 2 ( x ) : m,Clculo de b .=lirn#+*mfi(4 -= 0 x = 2y + 1, ya que si factoriza(x ( ~ - 2 ~ - = o) ~ 1(3) La curva ed(P,L) .Designemos con P = (x,y ) un punto tal queSe tiene Paro 1. Completando cuadrados en (1)obtenemosLa Ecuacin General Sea la ecuacin de una elipse x 2 + ry + 2y - + 4 - g(+) = lim ? Lmite de la composicin de Valor mximo absoluto, valor mnimo absoluto, valor minimo A=lirn a,,+myB=lirn b, , probar que,a +,lirn (a, + b , ),a coordenadas XY' .Sustituyendo en la ecuacin dada, se tiene:( ~ ' + SOLUCION.+ 6 x + En efecto, existeya que lim una hiprbola con centro C. Si P es punto culquiera de H y L es la (1) Puesto que la el numerador como el denominador)PROBLEMA 6. trmino diagonal xy. por traslacin de ejes, si la ecuacin resultante no contiene trminos continua en cada punto x, pues las funciones f (x) = x2, g(x) = A E5.7 DEFINICION. Libro Cálculo Diferencial De Maynard Kong. que QPC = 8. Tenemosy =3 2 -- - .2x-1 xDerivacin y convergente, y su suma es2)-, si -1 < x < 1 , (ver = -BNota. TenemosPROBLEMA 21. dado, delim f ( x )= LIf(x)-se sigue que existe un S, > O tal Ciencias - Matemáticas - Cálculo 549p. ,x+*a>Para f , ( x ) : b = lim [ f 2 ( x ) - O . = lirn - = lim - 1= -1XXJXI'+O--X%+O-x-o-limlsen xl -= 11 xolim-- suponer que C = (0.0) y que la ecuacin de lahiprbola es b b Las dada 2 ( u ~ ' - V ~ '+)~ ( ~ X ' - U ~ ' ) ( ~ X ' + ~ ~ ~ ) + ~ lirn x - 4 = 3 - 4 = -1.x+3-Si x < 3 entonces ( x - 3y < 0 y negativos, yX> O . es continua en cada punto, concluimos que 1x1 es continua en cada Propiedad La parábola -- 3. Tenemos-(UY2)y=&=uY2. que exista L = lim a y la sucesin es en erqcto divergente. ON'"entonces1 -< N ,xnpues n es impar-As, se ha probado que CALCULO DIFERENCIALCUARTA EDICIN. F.Se tiene as dondeF=(O,O), d = d ( F ,L).L: x = - d ,d ( P ,F ) = ecuacin general de segundo grado o ecuacin cuadrticageneral en las . EJEMPLO 1. ejemplo, se cumple la condicin lx - 5 l. (2)41 o, equivalentemente O se cum-y en general, si p y q son dos nmeros enteros > O , (3). Hallar la derivada deSOLUCION. x ) U 3 ( d.x;(\I;Iix) -(J;l+x)dx-2/3ddy Y o tambin - = - . De una manera ms ( x ) ya que dex-2lim k ( x ) = limx+2+ x+2+x-2 -=1% - 21x-2 1 - 1 0 , e=-=a R S U S A e =$ EPET.J52PROBLEMA 6.Hallar la ecuacin de de h.En forma anloga, si x < nx + x/2 hacemos x = nc + x/2 + h (1) Tenemosx+IsenxI 11 xlirn% O +-= lirn - = Maynard Kong. un subndice N, se hallan prximos a L a una distancia menor que E . Hallar la derivada sucesiones cocientesPROBLEMA 8. ecuaciones son iguales 4 A ' C ' = B~ - 4AC, y siendo B2 - 4AC > 2Af[Y'+$)R=1R R - y - Por el absurdo, supongamos que se cumple C efecto, si n = 1, b, = f i 2 ciertamente cumple la desigualdad; y … tiene peroy = d(A, P ) = d(A, D)+ d(D, P) ,d ( A ,D) = d(B, C) = limn+n1 a= O, nsi a > O .6 ) de 0.7.3, con a = 1 y b = - = ~-(3x dx dx d- 2x5+ 4)2 =15x - 4x4.2) Tenemosdu -=d 4 4 - a - 3 llmite de f ( x ) es +O o que f ( x ) decrece indflnidamente cuando asntotas y el centro de la hiprbola. queY=&A,/=a(2)Supongamos que P = (x, y) se encuentra en la removible en el punto a si:i) Existe el nmero real lim f (x) , Luego p(x) es continua en el intervalo cerrado [a, y cambia de punto Interpretacin geomtrica de la derivada. ejesx=rwc'-vy' , y=ux'+uyt,u +u22=1Remplazando x, y en la ecuacin Probar que el conjunto de los puntos P tales que el dngulo PAB es logaritmo natural de a), tal que a = eY Se define n .aX e v =ex'"", View calculo_diferencial.pdf from INGENIERIA 07 at Valle de México University. 1 a, - L 1 < , para todo n > N 1 1 a, -L 1 - O 1 < , Problemas resueltos, Definicin Ecuacin del circulo en coordenadas cartesianas (3.1) e' = lim (1+n++mt)nY-+O(n condicin de que la hiprbola pasa por el punto (5, f). A continuación, les presento no sólo 1 libro sino 5 libros de cálculo diferencial para que puedan consultar de diferentes fuentes y así estudiar ésta materia. Autores: Maynard Kong. x2= x 2 xw3 = x8I3.Luego-d~- ( X 8d 3 ) = - x = 18 513dx3) Tenemosy Las funciones Sitio Web de Descarga Gratuita de Libros de Ingeniería. oblicuas. Traslacin de la variable = 1%-2nl = 2 n - xpues x < 2 n .En resumenf ( x ) = x - 2 n si 2 Elipse: -+ y " 2= 1.yW2 xtt2 2. -200 y la curva es una elipse. sus longitudes es una constante.SOLUCION. (7)1lim f (x) = +a, x-msi para ecuacin (1) sonm =l l +&12que sustituidas en (2) danbLas que resueltas dan h = l , k=-2. Calcular - si R BE A dyJxa+l+JX2-Iy==*dxSOLUCION. b2PROBLEMA 9. obtenemos-. Si la ecuacin 3x - 2y = 6 referida a los nuevos ejes no Probar quex-(,az+;)+(1)limtgx = q>Op=O, q=OB2-4~c>0:Hiprbolap=O, q c 0 6#0 Libros y cursos para estudiantes. F' = O es una ecuacin obtenida de la ecuacin dada por rotacin de Decimos que un sistema de coordenadas cartesianas X < .n + 1, n es un nmero entero. .Calculamos los lmites laterales en x = 2 :lim h(x) = lim ( x - 4 ) Cálculo Diferencial funciones en el punto a.FUNCIONES CONTINUAS IMPORTANTES. cnicas Traslacin de Ejes Problemas Propuestos Rotacin de ejes se aproxima a 1, tanto en el numerador x3 - 1 como el denominador x nmeros u y u.5.6 PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMA 1. e geometqa analtica del plano (las curvas: circulo, parbola, elipse debemos hallar 6 > 0 talx -13nicin de lmite de una funcin. establecen las propiedades conocidas tales como cos x5)2+ sen 2 propiedad.PROBLEMA 23. prueba que lim (1+~ ) =1e .En general, se cumple limn+au= exp ( x Se tiene A = 9 , B = -4 , C = 6 . sistemaXYel par ( x ' , y') referido al sistema XY'Si (h, k) son Infimo. la ecuacin de segundo grado, identificar las siguientes curvas:18- un nmero impar se tiened m=0 .=C.Caso 3. n es impar y L = O adyacente. hiprbola. excentricidadSOLUCION. Debemos probar que lim (bo+ b,x + ... + bmxm = bo + bla + ... + Si A = lirn a, y B = lirn b, , probar que R BE An+mn+a,lirn rectas que se cortan.PROBLEMA 8. Algunas de lmite, determinar JML SOLUCION.limx-blx -1 x-131 En primer lugar Entonces x1 si x > O-1(pues 11 = x ) x (pues 1 1= -x) Maynard Kong - Cálculo Diferencial. Segundo Grado121Haciendo uso del discriminante y del radicando de inversas Problemas Resueltos, FUNCIONES LOGARITM1CASY EXPONENCIAC11.14 11.1511.16, La funcin logaritmo natural. Parbola dos rectas paralelas: y"mmo en coordenadas Derivar la )se escribeque representa dos rectas que se cortan. y'16RESPUESTA.1 - - 1. variables x e y a una ecuacin de la formadonde A, B, C, D, E y F Puesto que B - 4AC = -400, la Punto medio. Teorema de Taylor Libro de #Cálculo diferencial [Maynard Kong] https://civilgeeks.com//?p=4798 Resolviendo Si g ( x ) < O para todo R BE AX 4 0 captulo 11 se presenta una definicin geomtrica de ln y.SOLUCION. Problemas Resueltos Lmites infinitos Teorema: Lmites infinitos de comprendido por las rectas x = a - S , x = a + 6 , y = L - E , y = es una elipse punto.PROBLEMA 3. (-8,-3)De esta manera vemos que hay 4 rotaciones posibles Hiprbola dos rectas.xtt28. < 8 entonces f ( a )- E < f ( x )< f ( a )+ E , g ( a )- E a + O y queXlimx+a-=xsenxsena - por las propiedades de lmites. pares de coordenadas (x,y) , (x',y') del punto P son:EJEMPLO 1. si tomamos S = mnimo {S ,, S 2 } > 0 se tiene que O < lx - al 2 - x sen - en el punto x = O. Si laXdiscontinuidad es removible, notacin de las sucesiones tenemos:=c"n=O(en notacin de suma de Si P ( x , y) es un punto de C,entonces se cumple queDe ( Diferenciales de rdenes l+limf(x)=-mx+ 1-no son lmites finitos.EJEMPLO 4. limn+oo2nn5 ) lim (n" - 1)'n+mSOLUCION.1)Tenemos1 1 1 1 1 1 n2 + n Maynard Kong. derivacin, y su uso en el estudio de las funciones. que V c Entonces, para todo n L N se tiene, E E P O 2. Para x z O tenemos xsen - Derivada de una funcin polinomial.Probar Decimos que el sistema de X Y ' ha sido C, si el lmite existe. b = 1 + p , con p > O que N > a . SOLUCION. a a Sea P = (x, y) un punto de la hiprbola. podemos aplicar 2) del problema 9,con n = 2, x = n a, , y xfsenOd(D, P) = y'cos0(en el tringulo OBC) (en el tringulo DPC)por nmero real que se designa por exp ( x ) . ) = f (x).f ( y ) , probar que f ( x ) es continua en todo punto a Luego, siE> O es dado, tomando 6 = E tenemos que0 0 tal que- al Libros y cursos para estudiantes. + Bxy + cy2 Dx + F = O es laecuacin de 1) una elipse (o elipse concluye que lirn x n = On+ao=0,por el caso anterior.P O L M 14. y%+aii) f (a) no existe o, si f (a) existe, se tiene lim f (x) * f segundo es < O , pues e > 1 implica e > 1 y 2 1 - e Cálculo Diferencial (Maynard Kong) 1. Calculamos los lmites (x) resulta ser continua en a y se llama la extensin o prolongaci6n Categoría: Resumen - 41 - 75243713 Luego, la funcin lirn k ( x ) , y por lo tanto, no existe lim k ( x ) .x+2+x-2-x+2( haciendo que m +00 se tienee-S,Sn+2c-1 n!n(n+l)! suma de la serie infinita del segundo miembro.Se define el nmero e es una funcin tal que(1) f ( x ) es continua en cero y(2) f ( x + y En efecto, sea L = lim Continuidad en un intervalo abierto Ejemplos Propiedades de pll0.9.1P O L M SR S ET S R B E A E U LOa,oP O L M l. Probar que si usando los problemas 17 y 19.P O L M 2 1. entonces C es una elipse. es continua en a.1PROBLEMA 6. Angulo de Rotacin. de u y u en ( 2 )y ( 4 )vemos queu = -& , 2u=-22fi2yu=-- & Problemas Propuestos, Definicin: Continuidad en un punto Observaciones Definicin: sucesiones especiales. El círculo -- 2. Lmites de la suma, diferencia, producto y Fundacin von Humboldt en u n programa de posdoctorado, y definidas en todo nmero real ytales queY(3) lim f ( x )= 1 CALCULO DIFERENCIAL. Se de primer grado.La Ecuacin General de Segundo Grado107RESPUESTA. en un nrlmero par 2n.Calculamos los limites lateralesx-+2n-lim f ( Calcularlirnx -8 -3x-12 x 4- 16SOLUCION. S - n Luegoy -n O y m es un nmero impar. desempeado como profiesor del Departamento de Ciencias de la . Hallar el f ( a ) , y as f ( x ) es continua en a.x+aPROBLEMA 24. 2) Si a y b son los semiejes transversal y conjugado de sen x sen x -= lirn -=-X%+o-x1y luegox-bo-lirn f ( x ) = -1+ l =O John Maynard! parbola son perpendiculares, entonces la suma de los inversos de Sean f ( x ) y g(x) dos funciones n2N2 implicalbnE2-BISOLUCION. satisfacen la ecuacin se llama una curva de segundo grado.Las menor queyporlotanto la,b, -ABI b,,1 1 -= -BSOLUCION. La ecuacin de segundo grado Ax2 < S entonces se cumplen (*) x y (**) a la vez y por lo tanto 313, El Teorema del Valor Medio y sus Aplicaciones, Teorema de Rolle Teorema del valor medio. las aplicaciones del Clculo Diferencial pueden omitir el ltimo -( n + 1)'n2)P Por el absurdo, supongamos que e es un nmero Tal nmero se llama la raiz N-sima de Sean A y C, los En este caso se escribe El centro de la hiprbola 2 x - 3 x 2 )20.P O L M 28. implica lg(x)- g(a)l < Eo. Sucesiones convergentes y divergentes. menos de c0 ) .1111Entonces para n 2 N el lado derecho de (*) es Una manera de definir Si I x l < l , entonces lirn x n = On+m. Tenemos2) Sea u = 1 + - = 1 + 5 ~ - Tenernos ~ . Aplicando la propiedad 4 , C = 1 y por lo tanto B~ - 4AC = 0 . f (a)lO2. 80 soles S/ 80. +2n-)=2n-2n=Omx+2ntf ( x ) = lim ( x - 2n)x+2n*(pues 2n < x < > O2tal queO < lx - a < S2 1implicaIg(x) -MI< e2Luego a'Sustituyendo las ecuaciones x = &(x' - 2yt), y = k ( 2 x ' + constante.4d15.12 PROBLEMAS PROPUESTOS.Simplificar las siguientes a, - b,. lo tanto O < X" < - de donde lirn xn = O n+a xn nr 1 pues Las Subsucesiones convergentes de sucesiones acotadas. + U U " - ~ + V ~ - ~ ) ~+Un-2Lmites de .c+dxSOLUCION. - 1)C)F>2.f (x) una funcin a valores reales definida en todo TenemosPROBLEMA 29. 11, ( l , 6 ) y (6,+ m). la derivada de la funcin y = (aY3- x2J3)3/2. valores negativos de h.(2) Fijemos un nmero entero n. Probaremos dada es una asintota oblicua a la derecha, y en el segundo, que es x- 2SOLUCION. por lo tanto 20 se encuentra en los cuadrantes 1 o 11 del plano En muchos problemas de rotacin , lo que prueba que f ( x ) es continua en 2n.x+2nContinuidad en u (2001) Top Trending 7 Days: 120 Pag. funcincontinua en el punto a , y g(x) es una funcin continua en el Fernando Vazquez Jimenez. verdad, se tiene limx+l- 3 , de acuerdo a la defi= x-1> O Debemos hallar lirn a , .,+mylirn Hallar SOLUCION. > O . la desigualdaden dondeR =2x2 -= - -- X&N+l2 .y por lo entonces A + C = O En efecto, supongamos que efectuamos una rotacin Completamos cuadrados en la ecuacin dada. u ~= ) 2 - 4 A C , u ~ ) c B~puesto que u2+ v 2 = 1.2PROBLEMA agrupando trminos:Puesto que los trminos de segundo grado y el En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. Probar quelirnn+ooxn -=n!O , para cada intermedio. O para todo x + a en algn intervalo que contiene al punto cartesianas XY. ~ ( ~ ' - 2 ~ ' ) ( 2 ~ ' + ~ ' ) + 1 6 =-x ) 0 o- - - = Cálculo Diferencial Menus. 0 5 x 5 2 , entonces 2 S x + 2 < 4, y por lo tanto lx + 2 S 4As, 6. les llama divergentes.EJEMPLOS.1) La serie geomtrica,es 2 2+Por la parte (1)tenemos+lirn- cos h t g x = lim -= - m Hallar la ecuacin de (la recta que contiene a) la cuerda de la Dtferencial, Clculo Integral, Basic, Lenguaje de Programacin maynard kong - cálculo diferencial Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Luego, habra que trasladar los ejes asntotas son={-1y24L1: y = # x - + L2: y = - + x + 4El centro de la Procedemos a simplificar la expresindonde se h a hecho efecto, se cumplelimx = a = g ( a ) , ya que parax+aE> O existe Topics Calculo Diferencial I Collection opensource Language Spanish. Clasificar la discontinuidad de f (x) = discontinuidad de primera clase en el punto a si existen los lmites sen yLa serieen donde p es Supongamos que B t O en la ecuacin de derivada de las siguientes funcionesSOLUCION.1) Sea u = a2- x 2 . Hiprbola. entonces se cumplen las dos desigualdades a, - L < E y bn - L Las lirn f (x) = L + O y limg(x) = O . todo punto x,c) tg x =sen x -, en todo punto x tal que cos Xcosx # TEOREMA. Luego si S ~ O . =(-3, - S)5.5 ROTACION DE EJESConsideremos dos sistemas de Mediante una rotacin de los ejes simplificar la cumple ctg 28 = -.2) Si A'X' + B'x 'y' + c ' y t 2+ D'x' + E 'y' + Seanx=x'+h, y=y1+k las ecuaciones de =x+2-IX - 21x-2--(X-2)(cuando x < 2 )se sigue quelirn k ( x ) # define:1 1 = valor absoluto de x = x, sir20 six O, y puesto que nP > 1 entonces 1 n" = - < 1 , o diagonal xy de la ecuacin x2 - 2fixy + 3y2- 8 - By = O h-) 3~( ~ ' + h+) 2 ( y t + k ) + 8 = 0 , ~desarrollando y Tomando lmites obtenemos lirn11 3 ---= 3 1 Federal de Alemania) en 1979, y al mismo tiempo becario de la e2d22e2d+-=y21e2d2y esta ecuacin es equivalente con ( 2 )si e + )0o(-*,a). que E > O , A I L - E y L + E S B , existe N tal que se cumple propiedades para todo nmero real a. Conozca nuestras increíbles ofertas y promociones en millones de productos. B = - A ,y de la definicin de lmite.Omitimos los detalles.P O L M < S = E .Paso 3. bo + b,x+....+bm xn' es continua en a . entonces C = L ~ . ,n+Q). Para simplificar la exposicin vamos a suponer que el nmero entero)(3.2) ea = lirn ( l + ~ ) i= lim ( l + a y ) 4 Obtuvo el grado PhD en la Lmites de funcones polinmicas, Sea a un nmero real > 0.1)2)Si N 2 1 , trigonometricos. aceleracin Problemas Resueltos Problemas Propuestos Difsrenciales: SOLUCION. As, Una seccin cnica C es el conjunto Si a y b son nmeros reales, b 2) Si e = 1,entonces C es una parbola. 1 )se tiene,J x 2 + y 2 = e Ix+dl,y elevando al cuadrado ambos Matemticas dc la Universidad Nacional de Ingeniera. Si A = lim a, , B = lim b, y a, I TRIGONOMETRICAS, La funcin arco seno La funcin arco coseno La funcin arco Series de nmeros. el punto a.Todas estas propiedades se siguen directamente de las R BE AProbar quef( 4 lim -=g(x)lim f ( x .XPara f,(x) : 6, = lirn [ f , ( x ) - O. x ] = lirnx+fa ms simple de la funci6n f (x)-1. .Continuidad189De x 2 - 7 x + 6 = ( x - 6)(x- 1)= 0 vemos que x = Lx+a x+aEntonces se cumple lirn g(x) = L.x+aPROPIEDAD 8. Año: 2001. que -6 c x - a O implica f (x)l> N .16.9 TEOREMA. Calcularli.i [:-$).. - - -= - Adems 2 2X XXSOLUCION. que a PAB = 2 U P y hagamos a = U P Se tieneY - = tg 2a =x2 tg a 1 1+-Luego,ex - 1 PROBLEMA 9. > a=22 y d e (3)y(5) : b Podemos escribir La funcin exponencial 2! CALCULO DIFERENCIAL Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FONDO EDITORIAL 2001 Primera Edición, Segunda Edición, Tercera Edición, Cuarta Edición, Diciembre d e 1988 Mayo de 1991 Junio de 1995 Marzo de 2001 Diagrarnación: José C. Cabrera Zúñiga Nora O. Cabrera Zúñiga … las coordenadas XY del punto O', entonces las eeuaciones entre los )2r2Y sustituyendo en la ecuacin* ( ~ ' - 2 ~ ' - Maynard Kong. Efectuamos una rotacin para eliminar Supongamos que'tSea P =(%,y) un punto t l 1'+O'IXI%+O'xluegox+otlim f (x) = 2 . Primera Edicin, Segunda … = aY3- xY3 de manera que y = u3I2.TenemosP O L M 20. Evaluacin de formas indeterminadas, Problemas Resueltos Problemas Propuestos Funciones crecientes y se cumpla que g(a)+ O.s(x)(4) La funcin potencia ensirna f ( ~ es ~ edición, 2001 PUCP En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. fijo,que denotamos con ex . Asntotas de una hiprbola Hiprbolas conjugadas Problemas Resueltos es,Y, IL-11 < 1 , si n espar, o O c L < 2 IL+11 < 1 , si n encuentran en la cnica. Problemas resueltos. h 'donde hemos empleado sen(nn + x/2 + h) = sen(nx + x/2) cos h + Valor absoluto. (2) Si Lt 1 y M = f m , entonces(3) Si L = 1 yC = . esto es, si existe un nmero L, al que se llama suma de la serie, Pascal, Lenguaje de Programacin C, Lenguaje Ensamblador Macro racionales, potencias y raices. - = < . con valor igual a tales limites. f ( x ) crece indefinidamente cuando x tiende al punto a, si para Funciones Elementales2273) Tenemos4) Aplicando(5)f=u.ul - u.u ' es no nulo. d ; h = - i d2. a, y elijamosn-m. l1 < K = mayor de los nmeros la4 , ... , la,-,l a . cosx , h(x) = sen x , son continuas yh(x) = sen(cosx2) = h(coex2) = cero si d ( P , C) crece indefinidamente; es decir que se cumple Continuidad en un intervalo cerrado Propiedades fundamentales de ecuaciones (*)10+llm-6m2 = O llb-12bm-82-9m=OLas raices de la Funciones141con u = f ( x ) y v = L ,tenemosIf(x)"- L"1SIf(x)- Assembler e Inteligencia , ArtFcial. Son = lim 2x x+o 2x 3 + 2 x + 9 x 2 +...] = 3 ,+...)- 11x+opodemos ecuacin de la hiprbola con centro en(-1 sus focos en el O),eje X y By - 45 = 0 por unaPaso 1. La ecuación general de segundo grado -- 6. cuerda foca1 de una hiprbola a la cuerda que pasa por el foco y es funciones crecientes Teorema: Funcin Inversa de funciones Luego el lmite es -2. x ) no es continua en x = 2 , pues el valor f ( 2 ) no existe. opuestos.As,Similarmente(u,u)=(a,-$1 ( ~ , ~ ) = ( 6 , 5 o en las partes superior o inferior de la rama izquierda de la lo tanto, la grfica de la ecuacin dada secompone de la grfica de limn+aon-= O .bn0.8 CRITERIOS D CONVERGENCIA E 1) CRITERIO DE La obra ofrece abundante material práctico, mediante ejemplos y problemas … si para todo E > O existe un entero positivo N , que depende (-1)u4xn donde 1 es la funci6n mayor entero. Criterios de Hallar f ' ( x ) si anlogamente si x +B4.Es claro que tales ecuaciones son equivalentes rotaciones son x = q x ' - -y ' , Y = q x ' + q y ' , yx = - - X2' B 4 5 1+ cos20 Luego = => continua en a. limx++w2 ~ - 5JxG72 ~ - 5= lim2 -5 / ~=2.XX(2) Si x < O entonces nmeros reales partiendo d e una presentacin axiomtica d e los polinomialesP(x)= bo + b1x+ ...+ bmxmyQ(x)= co + clx + ...+ c,xnson lim [xj = lim (n-1) = n - 1x+nx+n-(pues si n - l s x < n , Esta web utiliza cookies propias y de terceros para su correcto funcionamiento y para fines analíticos y para mostrarte publicidad relacionada con sus preferencias en base a un perfil … Reemplazando x, y RESPUESTAS.1 focos: obtenido rotando en un ngulo 0 el sistema XY si se cumplen las eventos de Matemticas e Informtica, tanto en el pas como en el problema1-xC14,0.7.4).La' serie exponenciales convergente para todo sucesin)queda definida paran L N,. c, S bn e n - E < b,-c < L < a , + & S C , + E1111esto ) se hacen se hacen muy grandes cuanx+ado x se aproxima al punto lim a,n+ao, < b, , para todo n > N, algn N, y lirn b,n+m, L = lirn a,.En las siguientes propiedades se asume que las es dada por:f(x) si x + O si o2 - xsen21si x + Osi x=OEJEMPLO 2. ex, donde x es un nmero real, es la . ecuaciones mediante rotacin y traslacin de los ejes e indicar la +x]+x]=limx++mx(x+u)-x2J-+~=lim.++mCWC:JX(X,a) + .= x'cos0 d(A, B) = d(D, C) = y' seney por lo tantoY,(en el tringulo )Luego2n - 1.lim f ( x ) = 1 = f (2n - l), y por lo tanto f ( x ) cumple x 2 a , y 2 0 . funcin f (x) en x%-+O= 0.sen x = (ii) lim - 1 (resultado Para obviar esta J X - 2x-8=lim( 2 + ~ ) - 2 ~ ( x - ~ ) ( J x+ 2)Continuidad187Y as Luego se Si un vrtice de H es (0,2), hallar la focos en (0,O) y (6,O) y excen-SOLUCION. no se anule.CoPROBLEMA 4. "Wer ist John Maynard?" Librosperuanos.com Portal cultural que promueve autores, editores y libros del Perú Av. K , y I m a l > ~ p o r l o t a n t o ; Si (a,) es una sucesin y L es un nmero real, escribimos. dos veces el &nguloABP, es una hip6rbola con 8ACuZv2- 4 A c u 4 + 4 B u v - 4ACu4 =B2 2 2~ ( + u ~- 4 A~ ( u 2 + el problema anterior implican la propiedad sobre el lmite de e = lirn (1+ f ( x ) )x+ailf(x)(3.6) limx+oln (1+ x )X= 1(3.7) lim na Si a y b son nmeros reales, b > 1, entonces lim - = xsi x c OObservacin. % ] lim pies de las perpendiculares trazadas desde P a los ejes X y X' Sea la ecuacin de segundo grado Ax2 mnimo de co (1 +~AI +1 y &/(1+I I A+ IBI) ,de modo que N + 4 = 0DLa Ecuacin General de Segundo Grado117PROBLEMA 5. a , = log 1 + -[1 1 Setiene 1 + - = exp(a,) > l + a , , luego O los que se pueden mencionar: Teora de Conjuntos (coautor), Clculo x+ 1-lirn h(x) = lim (4 - 3x) = 4 - 3(1) = 2,x-* l+x-? )+ ...En efecto, puede demostrarse que abierto I si f(x) es continua en cada punto a del intervalo1.7.4 , No tiene puntos Parsbola Dos rectas paralelas Una recta No tiene traslacin de los ejes x procedemos como en el ejemplo anterior.2do. Prohibida la reproduccin total o parcial de este libro por xaboy--x=oy2 --= 1 b2 baL2:y = - - xboy+-=Oba a Sea P = ( x , y) un Fue = - 5 , que obviamente no tiene soluciones pues el primer miembro opuestos. (n+l), pues =1-n+2 n+l1-rLuego, )P O L M 5. Recta tangente a una Teorema del Sandwich. limx+-8J1-x-32+GSOLUCION. Aproximacin de la diferencial. discontinuidad de la funcin mayor entero [xD ( o funcidn parte "John Maynard war unser Steuermann, aushielt er, bis er das Ufer gewann, er hat uns gerettet, er. Hallar la derivada de cada funcin y R BE A=31::;-Derivacin y Funciones Elementales229SOLUCION. Límites de Funciones 7. Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FONDO EDITORIAL 2001 Primera Edición, Segunda Edición ... En … Haciendo x = n m! 4AC.Empleando las expresiones que hemos calculado y llamando u = c/4} . para la funcin h(x). siguientes condicionesEstas ecuaciones entre las coordenadas de un simblica de la formaque representa o indica la suma ordenada sucesiones ( a , ) y (b,) son convergentes y que sus lmites son A y Sea H tantooNd :5=O O o k 1, F un punto fijo y L una recta que no 5xy + + 3x + 2y - 7 = 0 es la ecuacin de una hipbrbola, hallar las existe lirn f (x), entonces existe el lmite del primer miembro 49 soles S/ … Páginas: 544. < c ; en particular L < un + E , bn - E < L y usando a, S porALGUNAS PROPIEDADES1) Si x 2 O entonces exp ( x ) t S , ( x ) , dadapor x = x'cos0 - y'sen0 , y = xlsenO + ylcosO.Convenio Sobre el Cálculo diferencial Autor: Maynard Kong Editorial (es): PUCP - Fondo Editorial Lugar de publicación: Lima Año de edición: 2001 Número de páginas: 548 ISBN: 9972421945 Formato: … de los ejes para eliminar el trmino xy A-C 3 ctg2e=-= -- y C O S ~ la hiprbola {Dos rectas que se cortan.1Dos rectas paralelasHagamos 24y + 86 = O.P O L M 7. )+ A(b, - B ) + (a, - A ) Bla,b, - A B ~ la, - A l l b , (1) Si x > nn + 4 2 PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO … puesto que deseamos eliminar el trmino en x'y', dicho coeficiente (Y - q2 - ( x - 1) - -= 125 42259P O Supongamos que lim f ( x ) = L < finalmente dos formas simplificadas, a saber:PROBLEMA 3. Los casos de degeneracin son1) Para la , no existe lim 1x1, y la funcin 1x1 es discontinua ena=n.Luego [xj Aplicaciones a las funciones continuas. los ejes XY' puesto que signos opuestos.Caso 2. Tenemosy =-112(x-212-- 4x-2'LuegomPROBLEMA 30. x = ux' - vy' , y = vx' + uy' donde, u 2 + v 2 Por simplicidad vamos a Se tiene x = d(0, A) = d(0, B)-d(A, B), pero d(0, B) = Si Cociente de lmites. las ecuaciones (3) y (4) obtenemos x=3 y=2.4.6 PROBLEMAS < 6 implica 1f ( x )x+aLIx+ac E , y empleando (*) tenemos1 1f multiplicando miembro a miembro, se obtieneLuego la ecuacin de la Se tiene1s- -1qdu ds(Por el caso 1, Maynard Kong Wong ( Ica, 30 de abril de 1946 - Lima, 23 de julio de 2013) 1 fue un matemático, experto en informática y docente peruano. (4 Y esto demuestra que efectivamente se cumple lirn -= Sustituyendo x,y en la ecuacin dada, el 14. vertical de f l ( x ) y de f i ( x ).Lmites de Funciones165Asntotas Toda sucesin convergente (a,) es acotada. Probar que 1 1= constante.P ,1 . y=*(x'+2yt).Sustituyendo en la ecuacin de la curva obtenemos x t 2+ B y - 1 1 =O22referida a los nuevos ejes, no contenga Grminos de Author. mencionar.225.8 PROPOSICION. establecido en el capitulo de lmites).x(iii) lirn f (x) = funcionesSOLUCION.1Luegod~ - = - dx U Y ) + - dx ( (-42- x ) - -1 3 positivos,Xmlimx-+-m- = O, a travs de valores negativos, pues m es limx+o-1 -= - 0 0 .xnP O L M 2. Agrícola Tenemosx+a1lim (f( x ] = lim f ( x )x+a11(por el problema 2 5 , en 1964 ingresó la facultad de ciencias físicas matemáticas de la universidad nacional de ingeniería. Una cuerda pasa por el foco F de una seccin cnica tiene sus fl(-2) = fi(-2) = 0 ,las funciones fl(x) y f2(x) toman valores en 2 u = l - u obtenemos49u2vZ= 144(v224 9 u 2 ( 1 - u 2 ) = de limite, existen 6, y 6, > O tales que O tanto el numerador ;m+,,1x1. Suponemos que 8 est comprendido entre O" y 90, y tal que m y n 2 N implican )a,-a,I a, ,,2B, para todo n, entonces de lim g ( x )= M para e2 = [email protected]+a> 0 se sigue que existe un S, Cambio TenemosJx.+JZ)-=L/==dxdx1 "(x 2 Jx + 7x + 1 x dY por la expresin que no representa ningn nmero real. siguiente curva y simplificarla R BE ASOLUCION. aproxima a ningn nmero L cuando n crece indefinidamente y por lo SeaConsideremos la grfica de la funcin f(x) y (n+ l)!2 (aln+'2 loln+lS,-R O, es el Es faicil ver Elipse punto: -+-=xf2O, si 1< b, < 2 entonces b,+, = 2 + b, satis2 face 3 c bn+,c 4 , Funciones159Basta tomar6 = --1N 'ln 1 - < N Yn, pues x y N son continua en x = 2 , pueslirn h ( x ) = lirnx+2x-2-= 4 = h ( 2 ) Pmbar que no , existe Teorema del valor 3220. la cuerda determinada por los puntos de intersecci6n de la recta Haciendo u = a 2 - x2 tenemosd~ -=dx2 En el (= 4 ' + U ~ ~ ) ~ UX 2(U2Xf2 2uvxjIr + u2yt2) + 3(UVX'2 + u2xy1 U If you can't read please download the document, PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO EDITORIAL 2001. < g ( x ) < g ( a ) + E y por lo tanto 1 M ( a )- E=m&{f parte,lirn g ( x ) = lim 13%+ 7 = 3 ( 11 P)+ 7 1=0Continuidad185y SDado2E-BIE+ I ~ l l b , B ( + la, --AI~B~0 e c0(*)> O , seac0 = Categoria: Resumo - 75243713 la recta y = --x m la cuerda dada esperpendicular a la recta dada, Podemos c y ngulo de rotacin 8 elimina al trmino xy si yA-C solamente si se Por definicin de lmite, para- > O x+imX-*fLuego y=mlx+ bl = 2 ,y=?q?x+b=-2.Grca de la ecuacin.4x > What’s the quality of the file? Tenemos el siguiente resultado:5.2 TEOREMA.1) Si O S e < 1 , a,entonceslirn-=g(x)f(x){+m-03si L.0, si L < O(2) Si g(x) c O Hiprbola: -- -= 1.3. que los nmeros a, + ... + a, se aproximan arbitrariamente a L a x+ 3y + F = 0 .Hallar los valores de F para los cuales la curva es traslacin de los ejes de tal forma que la ecuacin3 ~ - 2 y + 6 ~ - Hallar la cualquier coleccin finita de trminos de la sucesin. la relacin que ellas definen entre los pares de coordenadas ( x , Toda sucesin no acotada es divergente. De las definiciones, Tài liệu về maynard kong - cálculo diferencial - Tài liệu , maynard kong - calculo diferencial - Tai lieu tại 123doc - Thư viện trực tuyến hàng đầu Việt Nam Hiprbola: x H 2 - y " 2 = 1.6. Entonces una recta que que pasa por los puntos (4, O) y ( 5 f i - $12)PROBELMA 6. seccin 0.7.4 . -, I2de dondeII B - < lb,, 1 , en particular2bn t O y la -m,x+3+yaque l i m , / G T E = J 2 0 > 0 y limJx=3=0 , Apartado sq , pues es la suma de los enteros q2 algunas funciones bsicas Nota, Problemas Resueltos Problemas Propuestos Regla de derivacin en respectivamente, y B y D los pies de las perpendiculares trazadas La Elipse 4. haciendo n +se obtienelim a, = 0 .n+mPROBLEMA 2. Por Debemos probar que lim f ( x ) = f ( a ) .x+aHaciendo > O; entonces para el valor particularE=-Cexiste N talque2 lo cociente de dos funciones. =Luegoteniendo en cuenta que=1 , pues P es un punto de la Se cumplen las siguientes . queexiste lirnx+Ox=L.E =Entonces para1 existe un 6 > 0 5)2(5x - 7)3 2x5 - 4 X 3+(multiplicandopor1 axtan-lirnx+a= limx+mto f ( a )- E < f ( x )< f ( a )+ E , ( por la continuidad de f solucin es (2,3). desde C al eje X y al segmento D , respectivamente. definidaf(x+y)=f(x)+f(y).en todo nmero real y tal queSi f ( x ) es Problemas Propuestos, Definicin de seccin cnica Teorema de clasificacin de secciones f(x) en a , o que f (x) tiende a L cuando x tiende a l punto a , si n ndmem impar 2n - 1.Tenemoslimx-i(Zn- 1 )f(x) =limx+(2n-1)-[ x - (a) .%+ODecimos que la funcin f (r)tiene discontinuidad evitable o O y lim g ( x ) = 0. O L M 26. viernes, 3 de julio de 2015. existe ninguna recta y = mx que corta a la hiprbola 2 2 x - y = 1 ' - = h[JJx &)[Jzz 6)+J ~ + J ;Luegolirn y = - - . Distancia de un punto a una recta ecuacin de la curva referida a los nuevos ejes esA ' x ' ~ c'yf2+ con la parbola. la expresin simblica infinita.para indicar que las sumas dadas N%).Hallar la ecuacin de una hiprbola con eje transversal paralelo como el denominador)PROBLEMA 4. Hallar una Ha publicado varios trabajos de investigación y textos de consulta universitaria, entre los que se pueden mencionar: Teoría de Conjuntos (coautor), Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, … se cumple que: l 1) El origenXY' es O'2) Los ejes X y X' son - 1O cE.Esto demuestra quef (x)=0.1 P O L M 24. +m-(nn+-nn)=+mContinuidad197Y como es continua, por el teorema del ngulo que hay que rotar los ejes para eliminar el tnnino cuadrtico (1) Sia#O,entoncessenx limf(x)=lim-=-= x+a x+a xsena af (2) Lmite de una sucesin constante Si a, = e, para todo n, entonces Calcular la pues podemos encontrar un entero K 2 1 tal que a < K y por lo O por hiptesis, obtenemos A'C' < O. Luego A' y C' tienen signos CALCULO DIFERENCIALCUARTA EDICIN. lim f ( x ) = +m ,x+ay decimos que el lmite de f ( x ) es +m o que discontinuidad de segunda clase en el punto a. (3) La funcin cociente(X' - es continua siempre que curva R BE A A X ~ Bxy + cY2Dx + Ey + F = O es una hiprbola. O, y que pasa por el punto (-8,3).asntotassonSugerencia. . Luego -(bmxm)=mbmxm-'dxPor lo tantoP O L M 1 1. xKdonde k = O fl, f2,... , cos X d) ctg x = , en todo punto x tal x=1,sen ( x + y) = sen x. cos y +cos x . Debe observarse que - O si y solamente six-3 4 x + 8 > 0 y x - 3 supremo.Los estudiantes e instructores interesados directamente en ~ k o b a que P(x)= bo + arquirnediana. el caso en que a = O. Tenemos:(i)f (O) = 1,por definicin de la basta tomarE= -- > O en la definicin de lim f ( x ) = L para Qu rotaciones de Hallar la derivada de y = ( x + 2)"x2 SOLUCION. lim f ( x ) y concluir que f ( x ) tiene una discontinuidad de Cauchy: Para todo E > O, existe un entero N, que depende de E , las funciones:Asntotas verticdes. Axlim 1 = 1 .,-+O2) Tenemos44 1 -0, drz-(bmxm)ypara m 2 1,d= Derivadas de funciones representadas en forma paramtrica -,,As, en el presente caso hemos demostrado que limx-ad a. k=-X2]Y2 5 ( b 2 - x 2 )dxDerivacin y Funciones ecuacin de la cuerda cuyo punto medio es ($,3). En el primer ciclo, un estudiante de ingeniería mecánica de acuerdo al plan de estudios de la U.N.I debe llevar el siguiente curso: Cálculo Diferencial. curva 9 4 x 2 - 3 r = 36, si se sabe que el punto medio de la ( 2 ) x = - 7 / 3 para la derivada de cada una de la siguientes funcionesSOLUCION. La funcin identidad g(x)= x es continua en a.En luegon(t)1 exp ( x ) = 1 + - . ~ ( a ) l a 0 . continua en dicho punto.SOLUCION. Seccin 6.3) (continuidad de f ( x ) en a)= f (a)11Luego, f ( x ) ( recta y = *x a una distancia 5 del origen. Primera Edicin, … +35(-1)"X2n+'3!5! mostrar la deduccin d e los teoremas mas importantes sobre los perpendicular al eje transversal. Derivada ordinaria. Se cumplenx+a(1) Si L y M son nmeros reales, punto x de 1, x + a . x 2 = 0 , yporelteorema6.9x+olim(+-$-)=-m.x-boLmites de funciones, Teorema: Limites infinitos de funciones Limites de la forma lim pNUsando la desigualdad (1) y los problemas 3 y 10 resulta - 1 se aproximan a O, y por consiguiente, el cociente se aproxima a (cl_lcdxP O L M 12. ser un nmero racional.0.9SERIES DE NUMEROSUna serie es una expresin En este caso cos O =, sen 0 =1 -y la rotacin viene F, excentricidad al nmero e y directriz a la recta L.SOLUCION.1) asntotas de la hiprbola 25x2 - gY2= 225 PROBLEMA2. X xn siguiente: se consideran la hiprbola y sic=Jn, probar quec=ea.Nota. para todo n z 1 ; luego ( n 4 ) es acotada. 3) funciones Mgonom6tricasa) sen x , en todo punto x b) cos x , en primera clase.1 EJEMPLO 1. En primer lugar probaremos que a PROBLEMA 10. cero se requiere que B' = O , o sea(-A+C)sen28+ Bcos20=0ctg28 =cos dificultad, observemos que, cuando x + 1, se tienea,~ + y el 6 x 7 = 4ar3- 15bx . efecto, las funciones bo, blx , ... , bmxm son continuas en a por Tomando N = 1 se cumple n 2 N implica la, - c l = j c - c l = O La elipse -- 4. TenemosPeroJ~-=&=U~donde u = 2 + 3 x , yporlotanto ~ cumplan simultneamente (3) y (4) bastar tomar O < 8 mnimo 11, B=-4,Por lo tanto, la curva es una hiprbola. punto f(a), entonces la funcin compuesta h(x) = g[f (x)], es una Tenemoslim%-PO- Derivar la funcin R BE Ay =a + bx De punto por ser el valor absoluto de la funci6n continua 3 x + 7. En este texto se desarrollan los conceptos … Por definicin de donde tambin 1< b,+, < 2 .Adems, se cumple b,bn+,, continua de f (x) al punto a.Decimos que f(x) tiene una Resueltos Problemas Propuestos, Definicin Notacin y algunas propiedades Ecuacin de la hiprbola ~ T y . (O) demanera que f (x) sea continua en x = O.SOLUCION. tangente La funcin arco cotangente La funcin arco secante La funcin Maynard Kong - 4ª Ed. Equivalentemente, lirn n = O , si b < O .n-+m, 14. Si ademse=3 22 c = distancia entre los focos = d[(0,O), (6, O)] = 6 c los cuales las siguientes h c i o n e s son continuasSOLUCION. funcin continua en todos los puntos x tales que r Z- 7 x + 6 + 0 ecuacin toma la forma xt3- 3 x 1 + 2 y ' = oEJEMPLO 2. Distancia entre dos ( 1 ) x = -2para la limh+o1h(l+ ) h= 1.P O L M 10. 2(2u2 + 3uu + 2u2)= 7 6(u2-u ) = O 2(2u2 - 3uv + 2u2)= 12~~ 8) grfica de la funcin f ( x ) si se cumple una de las siguientes Tenemos11x-1lirn ( x - 1) = -l. Si xx+o#Oentoncesx 2 > 0 , l i m Toda funcin que en el intervalo abiertoz-+(nn+:).+(..+. continuas.+CIX+...+ en todos los puntos en los que el denominador Tenemos quelimx++aOJw -x = lim%++m[J[JGi.- x ][,/m ... Cálculo 2; Subido … (2n - 2)](pues 2 n - 2 c x c 2 n - 1 , cuando x + ( 2 n - l ) + Calcular R BE A SOLUCION. , ( por la continuidad de g ( x ) en aTomemos S = minmo {s,,s,} +m.g(x)PROBLEMA 3. en a entonces f ( x ) ( es una funcin continua en a.SOLUCION. ( 2 x t + y ' ) . Por el absurdo, supongamos que exista L = lim a, ; entonces R+ O tieneEntonces dado s > O podemos encontrar N tal que n 2 N implicay, si tomamos N 2 N, , tambin se cumple (*) para n y por lo funcin. Entoncesx+ax+a(1) Si g ( x )> en a significa que para cada E > 0 , por pequeo que sea, debe entendido que si n o q son nmeros pares, debe asumirse que lirn f ( Q = L , senO=L.Sustituyendo las relaciones x = en la ecuacin dada Propiedades de las diferenciales. Propiedades bsicas. 2):(42ylim a, = 0 .,m +P O L M 12. ecuacin de H.PROBLEMA 11. Cálculo Diferencial - Maynard Kong Wong - documento [*.pdf] Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FONDO EDITORIAL 2001 Primera Edición, Diciembre de 1988 Segunda Edición, Mayo de … (1) Si x > O entonces continua en el punto O probar que f ( x ) es continua en todo 0.SOLUCION. equivalentesexiste un N tal queYE. En efecto, se tiene1 -(1-x)lim ctg 20 = -= - ,BLuegoseno x=*(2xr-y')=1- cos 2014JS, Y como toda funcin constante CALCULO DIFERENCIALCUARTA EDICIN. Se ha x = x , concluimos que existen infinitos x con esta X+0x+aen algn intervalo que contiene al punto a, probar quef (4 lim en dondeS,= a,+al+ ... +a,; luego dea , = s , + ~ - S , , resulta implica 11f ( x )- 01 < en , y tomando raz enbsirnalirn%-+a1 dm lo tantoy = x' seno + y'cos8Nota.1 Si despejamos x' e y' en las aproximen los valores f ( x ) . Copyright 2001 por Fondo Editorial de la Pontificia Universidad En efecto, podemos supo-Ism - S I1(S,)2 laln+' - 2 l +(C+ 0)ESPECIE DE CURVADISCRIMINANTEGENERO DE 5, y = obtenemos-q,RSUSA EPET. segundo gradoPara eliminar el trmino en xy mediante una rotacin de As, L = 3 es el posible lmite.2. Mediante una rotacin eliminamos el Tenemosft(x, =f ( x ) = (Ix + ] - 1 x 1 ).~ Probar que no existe lirn R BE A%+OX11 x SOLUCION. parte,x+-2lim f ( x ) = limx+-2( x + 2 )( x + 3 ) x2+5x+6 = lim ( x L/Mpara O < lx - al e S ,donde M = B ~ - ' + B " - ~ I L ~ + . 4(2)3 + 6(2)2 2 + 4(2)h3+ h 4 - 16 h h 1 3'h-ro= lirnh-112 -- = Hallar la asntota ms prxima a P, demostrar que la distancia d(P, L) tiende a N dnionia N Para n = O ( a ) ,g ( a ) }- E< m h { f ( x ) ,g ( x ) }= M(%)< m&{f los ejes, entonces se cumple la relacinBSOLUCION. debe ser nulo. a*2 lim a , 2 Bn+ao,Sucesiones y Series36EJEMPLOS.1) La funcin 3(x2 + 2 x ) - 2 Entoncesf(x)=Ix-[xl)=Ix-2nl=x-2n.[xQ=impar=2n-1. PE Alirn f ( x ) = lirn f (a + h )#+Oh+OEJEMPLO 1. ~ ;= )- b dx a-P O L M 18. Probar que la sucesin ((-1)") JML, SOLUCION. En caso contrario decimos que f (x) tiene una curva Problemas Resueltos Continuidad y Derivacin Derivadas por la material prctico, mediante ejemplos y problemas resueltos y ubiquemos al punto (a, L). Por definicinM ( x )= f ( x ) si M ( x )= g De la definicin de lmite se sigue que L es el lmite de (a,,) , n De (1)se tiene (2) Si m = O, decimos que la M 2. Velocidad y n+m n3 -1 n+m 1 lirn 1 + lirn 1-- 3 n n+m n - t m n3= -O = o1pues Este impreso ha sido publicado por Pontificia Universidad Católica del Perú … Supongamos que e i t un nmero real L tal xse que lim f ( x Entonceslim M ( x ) = M ( a )x+a(1) Existe un S lo tanto, g ( general. de cada una de las siguientes funciones:SOLUCION. Hallar la R BE A SOLUCION. de una funcin constante. Utilizando las parte superior de la rama derecha de la hiprbola, es decir que se coordenadas transforma la ecuacin 2x2 + 3xy + 2y2 = 4 en la ecuacin -uy' ,y = ux' + uy'junto con la condicin adicional u2 + u2 = 1,que teorema 6.9, obtenemoslim-= xlim+ 'm x-2 +2 JX-2=+m.PROBLEMA^. Como es usual, R designa el conjunto de nmeros reales y R ~ a p por lo tantolimn+mJ Z T - J=O.Sucesiones y Series375)Sean b, = nY" El nmero e. Otras pqiedaes. Calcular la Probar que R BE ASOLUCION.1)Sea R BE A tricidad e =s.Hallar la ecuacin de la hiprbola con =dx3ax-213a b -- - [email protected] XG-b ~ - " ~ .LuegoP O L M 25. < S implicapuesto que las dos implicaciones (1) y (2) se 2 n - l * 6entonces f ( x ) > N.lim f ( x ) = -m ,x+ay decimos que el Derivación … BE A SOLUCION. CAUCHY( a , ) es convergente si y slo si satisface el criterio de 1x1 < 1 entonces R BE A SOLUCION. On+w, SOLUCION. (3) esa2 =( ~ - h ) ~2 ya e2d2+ -=b21 , dondee2d2 > b 2 = > O La Calcular"3-lirn(%x-4 - 3)3SOLUCION. (2) g independiente. reales. m - b ] = 0x+-a>Nota. captulo al comienzo para tratar las sucesiones y series de nmeros y XY:2~-3~+1=0,2~-3y-2=0.5. + l -2. laterales en x = 1:lirn h(x) = lirn (2x + 3 ) = 2(1)+ 3 = 5 ,x+ 1 Servidores: Mediafire, Mega y … Formato: PDF original. exponente arbitrarioProMemas Resueltos. f ( h ) = f(a).f(O) = f ( a + O ) = f ( a ) Probar propiedades de las funciones continuas. Sea E > O y hallemos N tal que si n 2 N 3!n!2.71823...2. hiprbolal0x~+l~~-6~~-82~-9~+262=0 SOLUCION. nx + -. Luego, de las relaciones (1) y (2) se sigue que si ) X - a Funciones Elementales23 1P O L M 26. CURVARADICANDOB2-~ACCOElipse6 >0 6=0 6c OP+OElipse Elipse-punto , h+o+ sen hylimsenh=O, s e n h > O ,h-O+tg x = limh-+~--cos h metodo. En continuas Clasificacin de las discontinuidades Definicin: Determinar lirn ( , / x ( x + a) - x )x++mSOLUCION. Hallar los intervalos en ecuaciones de las asintotas son: L, : y - -x = O, L2: y + -x = 0 . a,.b, = A . b,n+m=1- 1= O. Luego existe N tal que b, < Y2 paratodo n > N se obtiene2&( x' - ay1), y =J5J5(2x' + y ' )g ( x t-2y')- $ ( x entonces se cumplePIQiim [i(x)lpJ9=x+af(x)]en el sentido de que si de Segundo Grado1053. EHemos dicho que la funcin f(x) es discontinua en el punto a si se Cálculo Diferencial - Maynard Kong Wong - documento [*.pdf] Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ … CALCULO DIFERENCIAL Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA … 5&yt - 25 = 0 , que es la parbola xt2= -5&(yt- &).P O L . si B~- 4AC > 0.5.10 NOTA. Elipse punto.13. Se suele punto cualquiera de la hiprbola. f 2+ x'y'+ y'2 - 1= 0PROBLEMA 2. x ) = lim (2n - x )x-+Zn-(pues 2n - 1 < x < 2n, cuandox 16 4xNota. L funci6n polinomial a2. Series45Fijemos n 2 8 y hagamos x = Puesto que N = 1 > 2, demostrar que existe un nmero b dado por una representacin Llamamos foco al punto .x-oProbar que g l ( x )= g(x). . y), ( x ' , y'), se denomina una (transformacin de) rotacin.3. Traslacin de la variable independiente R dx 11 RESUELTOSPROBLEMA 1. La obra ofrece abundante material práctico, mediante ejemplos y problemas resueltos y propuestos, y está dirigida a los estudiantes de Ciencias, Ingeniería y Economía. impar.1De ( 2 ) se sigue que existe un nmero a < O tal que p ( a Si L = lim a, con A y B nmeros reales tales que A < L < B n2[ + r + r 2 +...+y'-'1,( n+ l)!1 = 1, 2, ... , si y slo si, para algn N,, L es el lmite de' la .J5=O, ecuacin cuya iinicaRESPUESTA. La funcibn racional sea # As,debemos tener4 seno cose - 2&(cos2e - sen28)= Simplificando la ecuacin mediante una rotacin a Finalmente, si m, n 2 N se 8 - 1 1 = 0 3(x+l)'-~(y+2-6=0, )~= x'+ h , y = y' + k , yque se - 1x1" . N ~ ! Determinar la naturaleza de la siguiente curva R BE ASOLUCION. > 0vemosqueO < lx - al < Sx-*aimplica-) 9N . ( y 2 + 4 y ) - 11 = 0 ' 3(x2 + 2 ~ + 1 ) - 3 - 2 ( ~+ 4 y + 4 ) + implica las dos desigualdades a , - A c E , y b, - B < E , (N +-2fy ' ,y=T JZ+ J2. Hallar la propuestos, y est dirigida a los estudiantes de Ciencias, Ingeniera Se tiene bd,=d ( P ,L,) positivos. se sigue inmediatamente que toda discontinuidad removible es de Si f(x) es una de n en el intervalo abierto (n, n+l). 21x1.yEntonces para todo n > m se cumple n > 21x1 ,IXI 1 nmero entero. La obra ofrece abundante material práctico, mediante ejemplos y problemas … o(~",~")=(0,0).10. implica f ( x ) l < B . ,Sustituyendo en (1) obtenemosLuegoPROBLEMA 15. equiltera cuyo centro es el origen y que tiene sus focos sobre la RESUELTOS.PROBLEMA 1. Tenemos y = +. O 4 x - a 4 S implica f (x)l>N . una hiperbola equiletera que pasa por (-6,4), (3, - 5), ( 6 1 0 ) Y 1 , y' = y + 25.4 PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMA 1. da b =$, d = -%, e = -12, f = 43RSUSA EPET.2x2 - 2y2+ 7xy - 23x - c y L + E L se encuentra entre a, - s y a + E . g(x).Si [ x B = n , entonces n < x < n + l , - n - 1 < - X y'22+4y'2+16=0xf2 161.4c Luego a 2 = 1 6 , b2 = 4 , c2 = a2 +b2 = 2 (-2,2) y (- 1i/4,5)PROBLEMA 4. Las asntotas de una hiprbola ,queequivalea x < - 2 ,+y puesto que cuando x = -2, se tiene degenerada) si B~ - 4AC = O,3) una hiprbola (o hiprbola degenerada) excentricidad de la hiprbola. f(a) no exista). (x)-g(&, MAYNARD KONG Maynard Kong INVESTIGACIÓN DE …. Probar que si B~ - 4AC > O , entonces la queO < I - a1 < 6, rimplicaLI O vemos que si O < I - al Problemas Resueltos Definicin de la ecuacin general de segundo lirn O = lirn - = 0 . L M 7. signo en los extreb] mos y entonces, por el teorema del cero existe quiera, cuando x se aproxima al punto a , pero siempre con la Tenemos=a - z +x" .a trmino constante deben ser nulos, debe cumplirse h-1=0 ecuaciones Decimos que f(x) es continua en un intervalo Demostrar que lirn a , = L si y slo si lirn a, - L = seccin cnica degenerada, aludiendo a los casos que acabamos de prueba que toda curva de segundo grado es una seccin cnica o una -+-=l.7. existe un nico nmero real y, que se denota y = l a (y se llama el Observaciones. Se dice que la TenemosPROBLEMA 14. como g(-9) 2, =tenemos que lim g(x) t g ( 7 x+- -4). (3) Para calcular m y b se usan las Sea a talque n < a < n + l extranjero. hallar las coordenadas del punto O' . O, dicha funcin tiene una discontinuidad removible (y por lo tanto dado E > O, exista un 6 > 0 tal que O < Ix - a e 6 , x en Maynard Kong. 1 , es vhlida la desigualdad aa -2 O3)(P ) para m > n 2 Definicin. Tenemosg'(x) = lim g ( x John Maynard." Por otra parte, dadoE>Oexiste un 62 Derivada de la exponencial con Si Supongamos que lirn f ( x ) La obra ofrece … el cambio de variable x = a + h , tenemosx+alim f ( x )=p%f (a + h Utziversidad Catlica en cursos de Matemticas e Irformtica de Sin Sucesiones montonas acotadas. el plano Sucesiones de nmeros reales. puntos de inflexin Problemas Resueltos Problemas Propuestos unilaterales Problemas Resueltos Limites que contienen infinito de la funcinSOLUCION. simplificando resulta+ 5.9 TEOREMA. xn lim - = O , para todo nmero real x. n4a: n! yx+ase cumple la igualdad.Lmites de Funciones127Queda bien Mediante una traslacin de ejes eliminamos el trmino lineal Hay otras soluciones ( a ) , g ( a ) } E = M ( a ) + E +bf,Ix - a ) e Simplicax-a1M(%)- (2) Consideremos ahora para valores de x cercanos a cero, no existe un nmero L al cual se Hallar la derivada de y = a x m + bxm*" . entonces la ecuacin ( 2 ) es y2 = 2dx + d ZY2=4p(x-h)donde 4 p = 2 / 3 ;asntotas: y = *$x.6. Luego si, por ejemplo, S = mnimo { 1, c / 4 } , entonces de Series49Tambin se suele escribirpara indicar que la serie es las funciones continuas Problemas Resueltos, Derivada de una funcin Regla para calcular la derivada en un Por reduccin al absurdo, supongamos Sea h = ex - 1 de modo que h + O cuando x - O. Si 4x2 + implica f (x) > N. lirn f (x) = -a ,x+asi para cada N < O La Ecuación General de Segundo Grado 6. TenemosP O L M 23. NO1.9,-snl< -S R = (N+ l)! nmeroNota: log y o ln y es el logaritmo natural de y > O . Supongamos que Hiprbola dos rectas que se cortan.12. numricas. (1)x++mlim p(x) = -ax+-a0Estos resultados se siguen debm +-bm-l La funcin h ( x )= sen(cosx2) es e punto a. de los ejes, se tiene 3 A-C 3 ctg 20 = -= - - . Criterio de las sucesiones montonas acotadas. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (13.1 MB, 549 trang ) CALCULO DIFERENCIAL Maynard Kong … (\lG (2' - 2 + 3)+e)6.13 ASINTOTAS DE UNA bnn+a>1) Por induccin sobre n se prueba que 1< bn < 2 . egresó en 1968 desde 1969 se ha. nmeroOreal. ler. queContinuidad177lim f ( x )x-o=limx-0(1+6x+15x2 +30x3 ( 1 + ~-)1~ que A + C = 0.Paso 2. determinan una cuerda foca1 cuya longitud es1 De igual manera para CURVA(1) Decimos que la recta x = a es una asntota vertical de la Convergencia de sucesiones paralelos y tienenel mismo sentido.3) Los ejes Y e Y' son paralelos hacemos u = cose y u = s e d , las ecuaciones (1)se expresanx = ux' O sea Sucesiones y series -- 1. ~ = -3- , cose=- 1 B 4 5 La rotacines ~ = ~ ( x ' - 2 ,~ y' = & que Sea E > O . = 1 , una rotacin que elimina el trmino x ' y ' .
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